🔢 Spirale liczbowe

Spirala liczbowa umieszcza liczby naturalne na ciągłej, zwijającej się ścieżce i zaznacza te, które są liczbami pierwszymi. Ponieważ liczby pierwsze są wyróżnione na tle ciemnych liczb złożonych, widoczne stają się wyrównania i skupiska, których nigdy nie dostrzeżesz na zwykłej ponumerowanej liście.

Spirala Ulama zapisuje liczby całkowite na kwadratowej siatce, zaczynając od środka i zwijając się na zewnątrz pierścień po pierścieniu. Gdy liczby pierwsze zostają zabarwione, mają tendencję do układania się wzdłuż zaskakujących przekątnych pasm. Stanisław Ulam zauważył to w 1963 roku, bazgrząc podczas nudnego wykładu.

Wykorzystuje sito Eratostenesa. Zaczynając od 2, wielokrotnie oznacza każdą wielokrotność każdej liczby pierwszej jako złożoną, więc po jednym przebiegu każda liczba do N jest oznaczona jako pierwsza lub nie. To wystarczająco szybkie, by natychmiast obsłużyć pełne 20 000 liczb.

Spirala Sacksa umieszcza każdą liczbę całkowitą n w odległości r = √n i pod kątem 2π√n we współrzędnych biegunowych. Kluczowy efekt polega na tym, że wszystkie kwadraty liczb naturalnych trafiają na jeden promień (dodatnią oś x), a wzory liczb pierwszych przybierają formę krzywych, a nie prostych przekątnych jak w siatce Ulama.

Umieszcza każdą liczbę w odległości √n i pod kątem n razy kąt złoty, czyli około 137,508 stopnia. To ta sama reguła, którą kierują się prawdziwe koszyczki nasienne słonecznika, dająca najciaśniejsze, pozbawione luk upakowanie. Liczby pierwsze są tu jedynie zabarwione, aby nałożyć teorię liczb na naturalny wzór fyllotaktyczny.

Kąt złoty równa się 360 stopni razy (1 minus 1/φ), gdzie φ to złota liczba, co daje w przybliżeniu 137,508 stopnia. Ponieważ φ jest liczbą najbardziej niewymierną, kolejne nasiona nigdy nie ustawiają się w promieniste szprychy, dlatego daje ono najbardziej równomierne upakowanie nasion widoczne u słoneczników i szyszek.

Przekątne w spirali Ulama odpowiadają wielomianom kwadratowym postaci 4n² + bn + c. Niektóre takie wielomiany są niezwykle bogate w liczby pierwsze, więc ich wartości kreślą jasne linie. Najsłynniejszy jest wielomian Eulera n² + n + 41, który jest liczbą pierwszą dla każdego n od 0 do 39.

Typ spirali przełącza między Ulam, Sacks, Fibonacci a mapą liczb złożonych. Numbers (N) ustawia liczbę wyświetlanych liczb całkowitych, od 100 do 20 000. Cell size skaluje rozmiar każdego kwadratu Ulama w pikselach. Schemat kolorów przebarwia liczby pierwsze według stałego odcienia, sumy cyfr lub gęstości czynników, a Redraw lub Save PNG odświeża widok lub go eksportuje.

Ten tryb ukrywa liczby pierwsze i zamiast tego koloruje każdą liczbę złożoną według omega, czyli liczby jej czynników pierwszych liczonych z krotnością. Liczby o dwóch czynnikach otrzymują jeden odcień, o trzech czynnikach inny i tak dalej, dzięki czemu widać strukturę tego, jak zbudowane są liczby złożone, a nie tylko rozmieszczenie liczb pierwszych.

Jest to realne i statystycznie istotne zjawisko, a nie artefakt rysowania. Wzór odzwierciedla prawdziwe skłonności, przy których pewne formy kwadratowe produkują liczby pierwsze, i pozostaje wyjaśniony tylko częściowo. Hipoteza F Hardy'ego i Littlewooda daje przewidywania dotyczące gęstości liczb pierwszych wzdłuż takich linii, ale nie istnieje jej pełny dowód.