PL 
EnglishDomyślny
Українська🔷 Rozkład liczb pierwszych i odstępy
Zobacz rozkład liczb pierwszych: spirala Ulama, histogram odstępów i twierdzenie o liczbach pierwszych π(n) ≈ n/ln(n). Interaktywnie poznaj postulat Bertranda i odstępy bliźniaków.
O tej symulacji
To narzędzie przesiewa wszystkie liczby pierwsze do N (maks. 50 000) za pomocą sita Eratostenesa i przedstawia wyniki na cztery sposoby: jako spiralę Ulama, histogram odstępów, nakładkę twierdzenia o liczbach pierwszych oraz wykres punktowy odstępów. Przełączanie widoków ujawnia różne struktury tej samej listy liczb pierwszych — od tajemniczego skupiania się po przekątnych w spirali po to, jak ściśle π(x) podąża za x/ln(x).
🔬 Co pokazuje
Cztery powiązane wizualizacje liczb pierwszych poniżej N: spirala Ulama kolorująca liczby pierwsze na kwadratowej spirali, histogram odstępów między kolejnymi liczbami pierwszymi, nakładka porównująca π(x) z przybliżeniem PNT x/ln(x), oraz wykres punktowy wielkości odstępu względem wartości liczby pierwszej z krzywą odniesienia ln(p).
🎮 Jak korzystać
Wybierz widok za pomocą View mode, ustaw Max N (1000-50 000), dostosuj Spiral cell size dla widoku Ulama i użyj Highlight, aby kolorować bliźniacze liczby pierwsze, liczby pierwsze ≡1 (mod 4) lub liczby pierwsze blisko potęg dwójki. Panel statystyk na bieżąco śledzi π(N), N/ln(N), maksymalny odstęp i liczbę par bliźniaczych.
💡 Czy wiesz, że...
Stanisław Ulam odkrył wzór skupiania się po przekątnych w 1963 roku, bazgroląc podczas nudnego wykładu konferencyjnego — szkicując liczby całkowite na spirali i niemal przypadkowo zakreślając liczby pierwsze, odkrył jedną z trwałych wizualnych zagadek teorii liczb.
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego na spirali Ulama pojawiają się linie przekątne?
Wiele wielomianów kwadratowych, takich jak 4n²-2n+1, generuje nieproporcjonalnie dużo liczb pierwszych, a te wielomiany odpowiadają liniom przekątnym na spirali. Efekt ten jest rzeczywistym obciążeniem statystycznym, choć pełne wyjaśnienie pozostaje otwartym problemem w teorii liczb.
Dlaczego pomarańczowy słupek dominuje na dolnym końcu histogramu odstępów?
Odstęp 2 (liczby bliźniacze) i inne małe odstępy są znacznie częstsze niż duże odstępy, ponieważ zgodnie z twierdzeniem o liczbach pierwszych średni odstęp w pobliżu liczby pierwszej p rośnie jak ln(p) — dla małych liczb pierwszych ta średnia jest znikoma, więc małe odstępy zdecydowanie przeważają nad dużymi.
Dlaczego π(x) i x/ln(x) rozchodzą się w miarę wzrostu Max N?
Twierdzenie o liczbach pierwszych jest stwierdzeniem asymptotycznym — stosunek π(x)/(x/ln(x)) dąży do 1, gdy x→∞, ale przy skończonym N utrzymuje się trwała różnica. Lepszym przybliżeniem jest logarytmiczna całka Li(x), którą hipoteza Riemanna ograniczałaby znacznie ściślej.
Co oznacza różowa linia ln(p) w widoku punktowym odstępów?
To teoretyczny średni odstęp między liczbami pierwszymi w pobliżu wartości p, przewidywany przez twierdzenie o liczbach pierwszych. Poszczególne odstępy rozrzucone są szeroko powyżej i poniżej tej krzywej, ale ich średnia ściśle ją śledzi, a hipoteza Cramera przewiduje, że największe odstępy rosną jak (ln n)².
Dlaczego zwiększanie Max N spowalnia symulację?
Sito Eratostenesa działa w czasie O(N log log N), więc większe N oznacza więcej liczb do przesiania i więcej liczb pierwszych do narysowania. Przy 50 000 nadal jest szybkie (milisekundy), ale rysowanie spirali Ulama z małym rozmiarem komórki przy dużym N wymaga narysowania znacznie więcej pikseli na klatkę.