Як це працює
Функція Вейєрштрасса обчислюється підсумовуванням N членів ряду W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿπx). Кожен член додає косинусну хвилю з частотою bⁿ та амплітудою aⁿ. Оскільки a < 1, амплітуди спадають геометрично; оскільки b > 1, частоти зростають геометрично. Баланс між цими швидкостями визначає фрактальні властивості.
Для кожного стовпця пікселів x ряд обчислюється підсумовуванням всіх N членів. Значення y відображається у координату канвасу з адаптивним масштабуванням. Повзунок масштабу множить діапазон x на bzoomExp, розкриваючи ту саму структуру на дрібніших масштабах — візуальна демонстрація самоподібності.
Умови: 0 < a < 1, b ∈ ℕ непарне, ab > 1 + 3π/2
Розмірність Хаусдорфа: D = 2 + log(a)/log(b)
Показник Гельдера: α = -log(a)/log(b) = log(1/a)/log(b)
Повзунок масштабу використовує степені b як коефіцієнт масштабування, тому кожна одиниця масштабу розкриває ще один рівень рекурсивної структури. Це безпосередньо демонструє математичну самоподібність: масштабування x на b та y на 1/a відтворює ту саму форму функції.
Часті запитання
Що таке функція Вейєрштрасса?
Функція Вейєрштрасса W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿπx) — класичний приклад функції, неперервної скрізь, але ніде не диференційовної. Опублікована Карлом Вейєрштрассом у 1872 р., вона зруйнувала інтуїцію XIX ст., що "неперервна" означає "кусково диференційовна".
Коли функція Вейєрштрасса ніде не диференційовна?
Функція ніде не диференційовна, коли 0 < a < 1, b — додатне непарне ціле число, і ab > 1 + 3π/2 (умова Вейєрштрасса). Гарді пізніше довів, що достатньо мати a < 1 і ab ≥ 1. Типові вибори: a=0.5, b=3 або a=0.7, b=10.
Чому функція Вейєрштрасса неперервна скрізь?
Ряд Σ aⁿ·cos(bⁿπx) збігається рівномірно, оскільки |aⁿ·cos(...)| ≤ aⁿ і Σ aⁿ збігається (геометричний ряд з |a| < 1). Рівномірна границя неперервних функцій є неперервною, тому W(x) неперервна скрізь.
Яка фрактальна розмірність функції Вейєрштрасса?
Графік має розмірність Хаусдорфа D = 2 + log(a)/log(b). При a=0.5 і b=3: D ≈ 2 - 0.631 = 1.369. Ця дробова розмірність відображає нерівну, самоподібну структуру графіка.
Що таке неперервність Гельдера?
Функція f є неперервною за Гельдером з показником α, якщо |f(x)-f(y)| ≤ C|x-y|α. Функція Вейєрштрасса є неперервною за Гельдером з показником α = log(1/a)/log(b), що строго менше 1 — вона рівномірно неперервна, але не є ліпшицевою.
Яку математичну інтуїцію спростувала функція Вейєрштрасса?
До 1872 р. багато математиків вірили, що кожна неперервна функція є диференційовною, можливо, за винятком ізольованих точок. Шарль Ерміт назвав такі функції "жахливою чумою". Функція Вейєрштрасса повністю спростувала це й відкрила математичний аналіз та фрактальну геометрію.
Як масштабування розкриває самоподібність?
Оскільки W(x) = a·W(bx)/a + cos(πx), масштабування по осі x на b та по осі y на 1/a відкриває ту саму структуру. Функція виглядає однаково на кожному масштабі — математичне визначення самоподібності.
Чи є інші ніде не диференційовні неперервні функції?
Так. Функція Такагі-Ландсберга T(x) = Σ (1/2)ⁿ·s(2ⁿx) (де s — пилоподібна хвиля) є іншим прикладом. Броунівський рух майже напевно ніде не диференційовний. Банах довів у 1931 р., що "більшість" неперервних функцій (за Бером) є ніде не диференційовними.
Яку роль відіграла функція Вейєрштрасса у фрактальній геометрії?
Функція Вейєрштрасса вважається попередником фрактальної геометрії. Її нецілочисельна розмірність Хаусдорфа, самоподібність та патологічні властивості диференційовності передбачили формальні фрактальні концепції Мандельброта та інших у 1970-80-х рр.
Чи можуть комп'ютери нарисувати справжню функцію Вейєрштрасса?
Комп'ютери можуть лише апроксимувати її, обрізаючи нескінченний ряд до кінцевого числа членів. Для роздільної здатності екрана достатньо 20–50 членів. Апроксимація збігається геометрично: 20 членів дають точність краще за a²⁰ ≈ 10⁻⁶.