🎻 Fizyka struny — drgania i harmoniczne

Pokazuje naprężoną strunę zamocowaną na obu końcach, drgającą w czasie rzeczywistym. Można ją szarpnąć, przeciągnięciem nadać jej kształt lub wzbudzić pojedynczą czystą harmoniczną i obserwować powstałą falę stojącą z nieruchomymi węzłami i oscylującymi strzałkami. Statystyki na żywo pokazują częstotliwość podstawową, częstotliwość wybranego modu, numer modu i amplitudę szczytową.

Struna jest dyskretyzowana do 300 węzłów, a jednowymiarowe równanie falowe rozwiązywane jest jawnym schematem różnic skończonych typu leapfrog. Kolejna pozycja każdego węzła zależy od jego wartości bieżącej i poprzedniej oraz krzywizny sąsiadów, skalowanej przez liczbę Couranta r = c·dt/dx. Współczynnik bezpieczeństwa 0,4 utrzymuje krok czasowy w granicach stabilności CFL, dzięki czemu rozwiązanie nigdy nie eksploduje.

Naprężenie T i gęstość liniowa μ ustalają prędkość fali c = √(T/μ), która z kolei wyznacza każdą częstotliwość: napięcie struny podnosi wysokość dźwięku, a większa masa ją obniża. Suwak tłumienia (0,990–0,9999) mnoży każdy węzeł co krok, więc wartości poniżej 1 sprawiają, że drganie stopniowo zanika, tak jak prawdziwy szarpnięty dźwięk cichnie.

Węzeł to punkt struny, który pozostaje nieruchomy, gdzie amplituda fali jest zawsze zerowa; unieruchomione końce to stałe węzły. Strzałka to punkt maksymalnego wychylenia, w połowie odległości między sąsiednimi węzłami. Numer modu n odpowiada liczbie strzałek, więc n-ta harmoniczna ma n+1 węzłów, licząc oba końce.

Struna zamocowana na obu końcach może utrzymać tylko fale stojące, których połówki długości fali dokładnie mieszczą się w jej długości L. Ten warunek brzegowy wymusza dopuszczalne długości fali równe 2L/n, dając częstotliwości fₙ = n·c/(2L) dla n = 1, 2, 3 itd. Ponieważ są to dokładne całkowite wielokrotności, te alikwoty są harmoniczne, a ucho odbiera je jako jeden dźwięk o określonej wysokości.

Częstotliwość podstawowa to f₀ = c/(2L), przy znormalizowanej długości struny L = 1 m, czyli f₀ = √(T/μ)/2. Przy domyślnych wartościach T = 400 N i μ = 0,001 kg/m prędkość fali wynosi około 632 m/s, a częstotliwość podstawowa około 316 Hz. Statystyka modu po prostu mnoży tę wartość przez wybrany numer harmonicznej n.

Podstawowe równanie falowe i zależność c = √(T/μ) są dokładne dla idealnej elastycznej struny, a solver różnic skończonych odwzorowuje je wiernie w granicach dokładności numerycznej. To wizualizacja 2D, która pomija sztywność struny, szczegóły oporu powietrza i drobną nieharmoniczność rzeczywistych strun — jest to więc wyidealizowany, ale ilościowo poprawny model dydaktyczny, a nie emulator klasy instrumentu.

Panel widma szacuje, ile każdej harmonicznej jest obecne w aktualnym kształcie struny, rzutując wychylenie na mody sinusoidalne sin(nπx/L). Wysokość każdego słupka odzwierciedla amplitudę danej harmonicznej, a aktywny mod jest podświetlony. Szarpnięta struna pokazuje kilka słupków naraz, co ilustruje, że rzeczywiste dźwięki są mieszanką alikwotów.

Kształt nadany strunie ustala początkową mieszankę harmonicznych. Szarpnięcie blisko środka faworyzuje ton podstawowy i mody nieparzyste, a szarpnięcie blisko końca wzbudza więcej wysokich alikwotów, dając jaśniejszy, bardziej brzęczący dźwięk. Dlatego właśnie gitarzyści szarpią blisko mostka, by uzyskać ostrzejsze brzmienie — efekt ten można sprawdzić, przeciągając w różnych punktach.

Wyjaśnia fizykę wszystkich instrumentów strunowych: gitary, skrzypce, wiolonczele, fortepiany i harfy wytwarzają wysokość dźwięku dzięki falom stojącym zależnym od naprężenia, długości i masy na jednostkę długości. Ta sama matematyka rządzi kołysaniem linii telefonicznych i energetycznych, drganiem strun głosowych i każdym naprężonym ośrodkiem — to brama do zrozumienia rezonansu, barwy dźwięku i analizy Fouriera.