PL 
EnglishDomyślny
Українська🎵 Szereg Fouriera
Animowane epicykle budują dowolny przebieg z harmonicznych. Dodaj do 8 składowych sinusoidalnych, posłuchaj dźwięku z Web Audio i obserwuj rozkład Fouriera na żywo.
O tej symulacji
Ta symulacja buduje okresowe przebiegi, sumując czyste tony sinusoidalne, ilustrując centralny wynik szeregu Fouriera: każdy powtarzający się sygnał można wyrazić jako sumę harmonicznie powiązanych sinusoid. Osiem harmonicznych opiera się na tonie podstawowym 220 Hz (nuta A3), a całkowite wielokrotności 2f, 3f i tak dalej tworzą widmo harmoniczne. Zmieniając amplitudę aₙ każdej harmonicznej, w czasie rzeczywistym przekształcasz falę złożoną, obserwujesz jej widmo częstotliwości i słyszysz wynikową barwę dźwięku dzięki oscylatorom Web Audio.
🔬 Co pokazuje
Krzywa złożona jest obliczana jako suma addytywna aₙ·sin((n+1)t) dla ośmiu harmonicznych, następnie normalizowana i rysowana wraz z delikatnymi śladami poszczególnych składowych oraz wykresem słupkowym widma częstotliwości. Przyciski gotowych ustawień wczytują klasyczne przepisy na amplitudy: fala piłokształtna (aₙ = 1/n), prostokątna (tylko nieparzyste harmoniczne, 1/n), trójkątna (tylko nieparzyste harmoniczne, 1/n²) i pojedyncza sinusoida.
🎮 Jak korzystać
Wybierz gotowe ustawienie (Sawtooth, Square, Triangle lub Sine) albo przeciągnij osiem suwaków amplitudy aₙ, z których każdy oznaczony jest częstotliwością od 220 Hz do 1760 Hz. Naciśnij przycisk Sound, by odtworzyć harmoniczne jako żywe oscylatory, i przełącz Epicycles, by zobaczyć obracające się okręgi, których promienie odpowiadają amplitudom, rysujące falę.
💡 Czy wiesz, że?
Joseph Fourier wprowadził te szeregi w 1822 roku, badając przewodnictwo cieplne, a nie dźwięk. Ta sama matematyka leży dziś u podstaw kompresji obrazów JPEG, dźwięku MP3, rekonstrukcji obrazów MRI i sejsmologii, ponieważ wszystkie te dziedziny działają w domenie częstotliwości.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest synteza Fouriera?
Synteza Fouriera to proces budowania złożonego przebiegu okresowego przez sumowanie prostych fal sinusoidalnych o częstotliwościach harmonicznych. Jest odwrotnością analizy Fouriera, która rozkłada sygnał na te składowe. Ta symulacja sumuje osiem harmonicznych sinusoid ponad tonem podstawowym 220 Hz, budując fale takie jak piłokształtna, prostokątna i trójkątna.
Jak symulacja buduje każdy przebieg?
Dla każdego punktu na osi poziomej oblicza sumę aₙ·sin((n+1)t) dla harmonicznych od pierwszej do ósmej, gdzie aₙ to amplituda ustawiona danym suwakiem, a t przebiega jeden pełny okres. Wynik jest normalizowany, by zmieścić się w widoku, i rysowany jako jasna krzywa złożona, a delikatne kolorowe ślady pokazują wkład poszczególnych harmonicznych.
Co sterują suwaki amplitudy i gotowe ustawienia?
Każdy suwak ustala amplitudę aₙ jednej harmonicznej w skali od 0 do 1, a jego etykieta pokazuje odpowiadającą częstotliwość (220 Hz, 440 Hz, 660 Hz i tak dalej aż do 1760 Hz). Gotowe ustawienia wczytują znane wzorce amplitud: 1/n dla fali piłokształtnej, tylko nieparzyste 1/n dla fali prostokątnej, tylko nieparzyste 1/n² dla fali trójkątnej oraz pojedynczy człon dla czystej sinusoidy.
Czy dźwięk jest fizycznie wierny?
Tak, w granicach tego modelu. Przycisk Sound tworzy osiem prawdziwych oscylatorów sinusoidalnych dostrojonych do dokładnych częstotliwości harmonicznych i ważonych wartościami suwaków, więc słyszana barwa dźwięku odpowiada przebiegowi widocznemu na ekranie. Ponieważ użyto tylko ośmiu harmonicznych, fale o ostrych krawędziach, jak prostokątna, wykazują łagodne zafalowania zamiast idealnie pionowych zboczy.
Dlaczego fale prostokątna i trójkątna używają tylko nieparzystych harmonicznych?
Ich symetria sprawia, że wszystkie parzyste harmoniczne znikają w szeregu Fouriera, więc pozostają tylko nieparzyste wielokrotności tonu podstawowego. Widoczne zaokrąglenie fali prostokątnej przy jej krawędziach, które utrzymuje się niezależnie od liczby dodanych składników, to zjawisko Gibbsa — podstawowa cecha obciętych szeregów Fouriera, a nie usterka symulacji.