PL 
EnglishDomyślny
Українська〰️ Równanie falowe
Równania falowe struny 1D i membrany 2D rozwiązywane metodą różnic skończonych. Szarpnij strunę lub stuknij membranę i obserwuj fale stojące, mody i interferencję.
O tej symulacji
Symulacja całkuje w czasie rzeczywistym klasyczne równanie falowe, ∂²u/∂t² = c²∇²u, przy pomocy jawnego schematu różnic skończonych leapfrog. Możesz przełączać się między jednowymiarową szarpaną struną z 600 punktów a dwuwymiarową membraną bębna na siatce 100×100, oba z unieruchomionymi (odbijającymi) końcami. Ponieważ każdy krok wywołuje interferencję fal biegnącej i odbitej, można obserwować fale stojące, harmoniczne i dwuwymiarową interferencję zmarszczek wyłaniające się z jednej prostej reguły aktualizacji.
🔬 Co pokazuje
Zdyskretyzowane równanie falowe: kolejne przemieszczenie każdego punktu siatki wynika z jego wartości bieżącej i poprzedniej plus krzywizny sąsiadów, skalowanej przez r = c². Struna używa jednowymiarowego Laplasjanu (u[i-1] − 2u[i] + u[i+1]); membrana używa czteropunktowego dwuwymiarowego Laplasjanu. Czynnik tłumienia mnoży każdy krok, więc energia stopniowo zanika.
🎮 Jak korzystać
Przełącz „Struna 1D” lub „Membrana 2D”. Kliknij lub przeciągnij po płótnie, aby wywołać zaburzenie gaussowskie. Suwak Prędkość (1–20) ustawia prędkość fali c, a Tłumienie (0–50) — utratę energii na krok. Użyj „Szarpnięcie” dla pojedynczego impulsu, „Ciągłe” do sinusoidalnego wymuszania struny, menu Tryb do uruchomienia czystej 1.–4. harmonicznej, a Reset czyści pole.
💡 Czy wiesz, że?
Równanie falowe zostało po raz pierwszy zapisane przez Jeana le Ronda d'Alemberta w 1747 roku dla opisu drgającej struny. Jego rozwiązania rozdzielają się na fale biegnące w lewo i w prawo, a to samo równanie rządzi dźwiękiem, światłem, falami wodnymi i falami sejsmicznymi.
Najczęściej zadawane pytania
Jakie równanie falowe rozwiązuje ta symulacja?
Symulacja rozwiązuje klasyczne równanie falowe drugiego rzędu, ∂²u/∂t² = c²∇²u, gdzie u to przemieszczenie poprzeczne, a c to prędkość fali. W trybie struny Laplasjan jest jednowymiarowy, w trybie membrany dwuwymiarowy. To samo równanie opisuje strunę gitary, membranę bębna, dźwięk i wiele innych fal.
Jak działa metoda numeryczna?
Wykorzystywany jest jawny schemat różnic skończonych typu leapfrog. Czas i przestrzeń dzielone są na siatkę, a kolejna wartość każdego punktu to 2u(teraz) − u(poprzednio) + r razy dyskretny Laplasjan, gdzie r = c². To trójpoziomowy schemat czasowy, standardowy sposób całkowania równania falowego z dokładnością drugiego rzędu.
Co robią suwaki Prędkość i Tłumienie?
Prędkość ustala stałą propagacji c, skalującą człon sztywności r = c², więc wyższe wartości przyspieszają ruch i drgania fal. Tłumienie mnoży każdy krok przez czynnik nieco mniejszy od 1, odprowadzając energię, tak że drgania stopniowo zanikają — podobnie jak opór powietrza i tarcie w rzeczywistej strunie lub membranie.
Czy fale stojące i harmoniczne są fizycznie wierne?
Jakościowo tak. Końce są unieruchomione, więc odbicia tworzą fale stojące, których węzły odpowiadają rzeczywistym harmonicznym, a wybór trybu uruchamia czysty profil sin(nπx/L). To model wyidealizowany — pomija sztywność struny i dyspersję, a bardzo duże prędkości mogą przekroczyć granicę stabilności schematu i zniekształcić wynik.
Dlaczego pojedyncze szarpnięcie zamienia się w falę stojącą?
Lokalne szarpnięcie to superpozycja fal biegnących w obu kierunkach wzdłuż struny. Gdy każda dociera do unieruchomionego końca, odbija się z odwróconą fazą, a fale biegnąca i odbita wielokrotnie interferują. Przetrwają tylko długości fal pasujące do warunków brzegowych, więc chaotyczny impuls początkowy przechodzi w rezonansowy wzór fali stojącej.