Клацніть і перетягніть струну, щоб щипнути
Ця симуляція моделює гнучку струну, закріплену на обох кінцях, — класичну одновимірну хвильову систему, що лежить в основі кожного щипкового або смичкового інструмента. Програма чисельно розв'язує рівняння хвиль, ∂²y/∂t² = (T/μ)·∂²y/∂x², методом скінченних різниць: 300 дискретних вузлів просуваються в часі явною схемою «жабячого кроку» з урахуванням умови стійкості Куранта–Фрідрихса–Леві. Струна рухається зі швидкістю хвилі c = √(T/μ), утворюючи стоячі хвилі, вузли й пучності яких можна спостерігати безпосередньо.
Повзунки задають натяг T (50–1000 Н), лінійну густину μ (0,0002–0,005 кг/м) і коефіцієнт загасання, що відводить енергію на кожному кроці. Кнопки гармонік завантажують чисті нормальні моди n=1 до n=10, а функції «Защипнути», «Скинути», живий слід, маркери вузлів і спектр гармонік розкривають фізику процесу. Розуміння того, чому частоти основного тону й обертонів підпорядковуються формулі fₙ = n·c/(2L), пояснює висоту та тембр гітар, скрипок, фортепіано і арф.
Що показує ця симуляція фізики струни?
Вона показує натягнуту струну, закріплену на обох кінцях, що коливається в реальному часі. Ви можете защипнути її, перетягнути в певну форму або збудити одну чисту гармоніку й спостерігати за стоячою хвилею з нерухомими вузлами та коливальними пучностями. Статистика в реальному часі відображає основну частоту, частоту обраного режиму, номер моди та максимальну амплітуду.
Як симуляція обчислює рух струни?
Струна дискретизується на 300 вузлів, і одновимірне рівняння хвиль розв'язується явною схемою скінченних різниць («жабячий крок»). Наступна позиція кожного вузла залежить від його поточного та попереднього значень, а також від кривизни сусідів, масштабованої числом Куранта r = c·dt/dx. Коефіцієнт безпеки 0,4 утримує крок часу в межах умови стійкості CFL, тому розв'язок ніколи не розходиться.
Що роблять повзунки натягу, густини та загасання?
Натяг T і лінійна густина μ визначають швидкість хвилі c = √(T/μ), яка, своєю чергою, задає всі частоти: збільшення натягу підвищує тон, важча струна — знижує. Повзунок загасання (0,990–0,9999) множить кожен вузол на кожному кроці, тож значення нижче 1 поступово гасять коливання, як і реальна защипнута нота, що затихає до тиші.
Вузол — це точка струни, яка залишається нерухомою; амплітуда хвилі в ній завжди дорівнює нулю; закріплені кінці є постійними вузлами. Пучність — точка максимального відхилення, розташована посередині між сусідніми вузлами. Номер моди n дорівнює кількості пучностей, тому n-та гармоніка має n+1 вузол, включаючи обидва кінці.
Струна, закріплена на обох кінцях, може підтримувати лише стоячі хвилі, напівдовжина яких точно вміщається в її довжину L. Ця гранична умова обмежує допустимі довжини хвиль до 2L/n, даючи частоти fₙ = n·c/(2L) для n = 1, 2, 3 і далі. Оскільки вони є точними цілими кратними, ці обертони є гармонійними, і вухо сприймає їх як єдину висотну ноту.
Основна частота f₀ = c/(2L), де довжина струни нормована до L = 1 м, тому f₀ = √(T/μ)/2. З типовими значеннями T = 400 Н і μ = 0,001 кг/м швидкість хвилі становить близько 632 м/с, а основна частота — приблизно 316 Гц. Статистика моди просто множить це значення на вибраний номер гармоніки n.
Базове рівняння хвиль і співвідношення c = √(T/μ) є точними для ідеальної гнучкої струни, і метод скінченних різниць відтворює їх достовірно в межах чисельної точності. Це двовимірна візуалізація, яка ігнорує жорсткість струни, деталі опору повітря та незначну негармонійність реальних струн, тому вона є ідеалізованою, але кількісно коректною навчальною моделлю, а не емулятором рівня реального інструмента.
Панель спектра оцінює, яка частка кожної гармоніки присутня в поточній формі струни, проектуючи відхилення на синусні моди sin(nπx/L). Висота кожного стовпця відображає амплітуду відповідної гармоніки, а активний режим виділено. Защипнута струна показує кілька стовпців одразу, ілюструючи, що реальні ноти є сумішшю обертонів.
Форма, яку ви надаєте струні, задає початковий набір гармонік. Защип посередині підсилює основний тон і непарні моди, тоді як защип поблизу кінця збуджує більше високих обертонів, даючи яскравіший, дзвінкіший тон. Саме тому гітаристи бренькають поблизу підставки для різкішого звуку — цей ефект можна дослідити, перетягуючи струну в різних точках.
Вона пояснює фізику всіх струнних інструментів: гітари, скрипки, віолончелі, фортепіано і арфи — усі вони видобувають тон за допомогою стоячих хвиль, що визначаються натягом, довжиною та масою на одиницю довжини. Та сама математика описує коливання телефонних і ліній електропередачі, вібрацію голосових зв'язок та будь-яке натягнуте середовище, і вона є вхідними воротами до розуміння резонансу, тембру та аналізу Фур'є звуку.