🗺️ Odwzorowania kartograficzne

Pokazuje, jak pięć różnych odwzorowań kartograficznych spłaszcza kulę ziemską, rysując siatkę południków i równoleżników dla każdego z nich. Nałożone indykatrysy Tissota ujawniają, jak kształt i pole powierzchni są zniekształcane w poszczególnych punktach mapy, dzięki czemu można porównać kompromisy, jakie wprowadza każde odwzorowanie.

To niewielkie koło narysowane na kuli, które po odwzorowaniu staje się elipsą. Jego rozmiar pokazuje lokalne zniekształcenie pola powierzchni, a jego wydłużenie — zniekształcenie kształtu. Tutaj każda indykatrysa to koło geodezyjne o promieniu 12 stopni, próbkowane 24 punktami i kolorowane według współczynnika pola: turkusowy oznacza wartość zbliżoną do rzeczywistej, a pomarańczowy — powiększoną.

Kula ma wewnętrzną krzywiznę, której żadna płaska powierzchnia nie odwzoruje bez rozciągania lub rozrywania — to wynik sformalizowany w twierdzeniu Gaussa Theorema Egregium. Każde odwzorowanie musi więc poświęcić coś: pole, kształt, odległość lub kierunek. Ta symulacja pozwala dokładnie zobaczyć, którą właściwość zachowuje każde odwzorowanie.

Każdy przycisk wybiera jedno z pięciu odwzorowań i ponownie rysuje siatkę, korzystając z równań prostych tego odwzorowania. Panel informacyjny aktualizuje się, pokazując typ odwzorowania oraz to, czy pole, kąty i kształt są zachowane, czy zniekształcone.

Przełącznik Siatka pokazuje lub ukrywa siatkę południków i równoleżników co 30 stopni, przy czym równik i południk zerowy są rysowane nieco jaśniej. Przełącznik Tissot pokazuje lub ukrywa elipsy indykatrys. Można wyłączyć jeden z nich, aby dokładniej przyjrzeć się drugiemu.

Odwzorowanie Merkatora jest wiernokątne, czyli zachowuje kąty i lokalne kształty, co czyniło je idealnym do nawigacji, ponieważ stały kurs kompasowy jest linią prostą. Kosztem jest poważne zniekształcenie pola powierzchni: jego wzór y = ln(tan(π/4 + φ/2)) wysyła pole do nieskończoności przy biegunach, dlatego mapa jest ucinana w pobliżu 84 stopni.

Te trzy odwzorowania zachowują pole powierzchni: względny rozmiar regionu na mapie odpowiada jego rzeczywistemu rozmiarowi na kuli, dlatego ich elipsy Tissota obejmują z grubsza takie samo pole. Aby to osiągnąć, zniekształcają za to kształt, dlatego lądy wydają się ścięte lub spłaszczone przy krawędziach tych odwzorowań.

Dla każdej indykatrysy symulacja odwzorowuje małe koło, a następnie wykorzystuje wzór sznurowadłowy do wyznaczenia pola wielokąta. Porównuje je z tym samym kołem narysowanym na odwzorowaniu walcowym równoodległościowym przy równiku. Średnia z tych współczynników jest pokazywana w legendzie jako współczynnik pola Tissota.

Tak, wykorzystują standardowe wzory matematyczne dla każdego odwzorowania, na przykład azymutalne równopowierzchniowe Lamberta wyśrodkowane na 0°N, 0°E. Elipsy Tissota są rzeczywistym oszacowaniem numerycznym, a nie analitycznym, więc są przybliżone, ale wiernie odzwierciedlają rzeczywisty wzorzec zniekształceń każdego odwzorowania.

Mapy internetowe, takie jak Google Maps, wykorzystują wariant Merkatora ze względu na jego proste w nawigacji kursy i wygodę kafelkowania. Odwzorowania Mollweidego i inne równopowierzchniowe są preferowane w tematycznych mapach świata dotyczących populacji lub klimatu, gdzie uczciwe porównanie rozmiarów regionów liczy się bardziej niż zachowanie kształtu.