Порівняйте п'ять картографічних проекцій: рівнокутна, Меркатора, Мольвайде, Ламберта та синусоїдальна. Індикатриси Тіссо показують спотворення площі, форми та кутів.
Жодна плоска карта не може ідеально відобразити сферу. Меркатор зберігає кути (конформна), але сильно спотворює площу біля полюсів. Мольвайде зберігає площу, але спотворює форми.
Перемикайте проекції для перебудови градусної сітки. Індикатриси Тіссо забарвлені за відношенням площ. Перемикайте шари для порівняння.
Гренландія на карті Меркатора виглядає розміром з Африку, але Африка насправді в 14 разів більша. Проекція Петерса (рівноплоща) спровокувала «карткову війну» у 1970-х.
Ця симуляція відображає вигнуту поверхню сфери на плоскій площині за допомогою п'яти класичних проекцій: рівнокутної, Меркатора, Мольвайде, рівновеликої азимутальної Ламберта та синусоїдальної. Кожна визначена явними формулами прямого перетворення — наприклад, Меркатор використовує y = ln(tg(π/4 + φ/2)), тоді як Мольвайде розв'язує рівняння 2θ + sin2θ = πsinφ методом Ньютона. Градусна сітка з кроком 30° будується шляхом послідовного проектування точок меридіанів і паралелей.
Кнопки перемикають між п'ятьма проекціями і вмикають або вимикають сітку та шар Тіссо. Індикатриси Тіссо — це малі геодезичні кола (радіус 12°), спроектовані на карту; код вимірює площу кожного спроектованого еліпса за формулою Гаусса і розфарбовує його відповідно до відношення площ відносно екватора. Проекції лежать в основі всієї картографії, GPS і вебкарт, де жодна карта не може одночасно зберегти і форму, і площу.
Що показує ця симуляція?
Вона показує, як п'ять різних картографічних проекцій розгортають глобус у площину, малюючи градусну сітку для кожної. Накладені індикатриси Тіссо розкривають, де і наскільки спотворюються форма та площа, щоб можна було порівняти компроміси кожної проекції.
Що таке індикатриса Тіссо?
Це маленьке коло на сфері, яке після проектування перетворюється на еліпс. Його розмір відображає місцеве спотворення площі, а видовженість — спотворення форми. Тут кожна індикатриса є геодезичним колом радіусом 12°, побудованим з 24 точок і розфарбованим за відношенням площ: блакитний — близько до істинного, помаранчевий — збільшена площа.
Чому плоска карта не може бути ідеальною?
Сфера має внутрішню кривизну, яку неможливо відтворити на плоскій поверхні без розтягування або розривів — це доводить теорема Гаусса Egregium. Тому кожна проекція чимось жертвує: площею, формою, відстанями або напрямками. Симуляція дає змогу побачити, яку саме властивість кожна проекція обирає зберігати.
Кожна кнопка вмикає одну з п'яти проекцій і перебудовує градусну сітку за її формулами прямого перетворення. Інформаційна панель оновлюється і показує тип проекції, а також чи зберігаються в ній площа, кути і форма.
Перемикач «Сітка» вмикає або вимикає градусну сітку з кроком 30°, де екватор і нульовий меридіан виділені яскравіше. Перемикач «Тіссо» вмикає або вимикає еліпси індикатрис. Будь-який з шарів можна вимкнути, щоб детальніше розглянути інший.
Меркатор є конформною — вона зберігає кути і місцеві форми, що робило її ідеальною для навігації, адже постійний курс компаса є прямою лінією. Ціна — сильне спотворення площі: формула y = ln(tg(π/4 + φ/2)) відправляє площу до нескінченності на полюсах, тому карта обрізається приблизно на 84 градусах.
Ці три проекції зберігають площу: відносний розмір регіону на карті відповідає його справжньому розміру на глобусі, тому еліпси Тіссо для них усі охоплюють приблизно однакову площу. Для досягнення цього вони спотворюють форму, тому біля країв цих проекцій материки виглядають зсунутими або стиснутими.
Для кожної індикатриси симуляція проектує мале коло, а тоді за формулою Гаусса (шнурівки) знаходить площу отриманого полігона. Вона порівнює цю площу з тим самим колом на рівнокутній проекції-еталоні на екваторі. Середнє цих відношень відображається в легенді як коефіцієнт площі Тіссо.
Так, вони використовують стандартні математичні формули для кожної проекції, зокрема рівновеликою азимутальною Ламберта з центром у точці 0°N, 0°E. Еліпси Тіссо є чисельною оцінкою, а не аналітичною, тому вони наближені, проте точно відображають реальну картину спотворень кожної проекції.
Вебкарти на кшталт Google Maps використовують варіант Меркатора — за рівні кути і зручність тайлового розбиття. Мольвайде та рівновеликі проекції надаються перевагою для тематичних карт світу з населенням або кліматом, де справедливе порівняння розмірів регіонів важливіше за збереження форми.