🔺 Trójkąt Sierpińskiego

To fraktal samopodobny, w którym cała figura składa się z trzech mniejszych kopii samej siebie, każda o połowę mniejsza. Usuwanie centralnego trójkąta na każdej skali pozostawia nieskończenie szczegółową siatkę. Ta strona rozszerza ten pomysł na trzy wymiary, pokazując czworościan Sierpińskiego oraz dywan w stylu gąbki Mengera.

Zacznij od dowolnego punktu wewnątrz figury, wybierz losowo jeden z czterech wierzchołków czworościanu i przesuń się do połowy odległości w jego kierunku, zaznaczając nową pozycję. Powtarzanie tego tysiące razy nigdy nie umieści punktu w usuniętych obszarach, więc losowy rozrzut osadza się dokładnie na atraktorze fraktalnym.

Panel podaje wymiar Hausdorffa. Dla trójwymiarowych struktur Sierpińskiego symulacja pokazuje 2,0 (log 4 / log 2), a dla dywanu w stylu Mengera pokazuje w przybliżeniu 2,7268 (log 20 / log 3). Te nie-całkowite wartości umieszczają te obiekty pomiędzy zwykłymi powierzchniami a bryłami.

W trybie gry w chaos suwak Points ustawia liczbę losowo rysowanych punktów, od 20 000 do 400 000 — więcej punktów daje ostrzejszą, gęstszą chmurę. W trybach czworościanu i dywanu suwak poziomu rekurencji (1–5) kontroluje, ile razy kształt zostaje podzielony, wykładniczo zwiększając liczbę rysowanych podkomórek.

Wymiar fraktalny wyraża wzór D = log(N) / log(s), gdzie N to liczba kopii samopodobnych, a s to współczynnik skalowania. Płaski trójkąt daje log 3 / log 2 ≈ 1,585. Czworościan Sierpińskiego wykorzystuje cztery kopie skalowane przez dwa, dając log 4 / log 2 = 2, a dywan wykorzystuje log 20 / log 3 ≈ 2,727.

Czworościan Sierpińskiego jest zbudowany z czterech kopii, każda skalowana współczynnikiem jednej drugiej, więc jego wymiar wynosi log 4 / log 2 = 2. Co ciekawe, jest to równe wymiarowi płaszczyzny, mimo że obiekt jest pusty w środku i istnieje w przestrzeni 3D, dlatego jego powierzchnie zdają się wypełniać pole mimo luk.

Reguły konstrukcji są dokładne: gra w chaos wykorzystuje prawdziwą interpolację w połowie odległości do losowo wybranych wierzchołków, a tryby rekurencyjne dzielą kształt za pomocą poprawnych map samopodobnych. Wyświetlane wymiary zgadzają się z wartościami teoretycznymi. Jedynie rozdzielczość jest skończona, ponieważ prawdziwe fraktale kontynuują się do nieskończonej głębokości, podczas gdy ekran i budżet punktów są ograniczone.

Gra w chaos renderuje stochastyczną chmurę punktów, która przybliża atraktor. Tryb czworościanu rysuje pełne, powielone czworościany rozmieszczone przez deterministyczną rekurencję. Dywan 3D stosuje regułę gąbki Mengera do siatki sześcianów, usuwając centralne komórki przy każdym podziale, pozostawiając porowatą sieć małych sześcianów.

Opcja By vertex barwi każdy element kolorem wierzchołka, z którym jest związany, podkreślając cztery podstruktury. Opcja By height mapuje pozycję pionową na gradient odcieni, dzięki czemu kształt wygląda jak mapa cieplna. Opcja Monochrome maluje wszystko jednym odcieniem błękitu, podkreślając formę zamiast koloru.

Struktury samopodobne występują w rozgałęziających się płucach i naczyniach krwionośnych, sieciach rzecznych, płatkach śniegu i liniach brzegowych. Inżynierowie wykorzystują wzory Sierpińskiego do projektowania kompaktowych, wielopasmowych anten fraktalnych, a geometrie w stylu Mengera inspirują materiały porowate, wymienniki ciepła i metamateriały, gdzie liczy się duża powierzchnia w małej objętości.