Ця симуляція відтворює самоподібні фрактали Серпінського в інтерактивному 3D-просторі за допомогою WebGL і Three.js. У режимі гри в хаос наноситься до 400 000 точок: починаючи всередині правильного тетраедра, кожен крок переносить точку наполовину до випадково обраного кута, і розсіяний «пил» сходиться до атрактора. Результат є просторовим аналогом класичного трикутника, який описується системою ітерованих функцій із чотирьох стискувальних відображень, кожне з масштабом одна друга.
Можна перемикатися між трьома режимами: гра в хаос (хмара точок), тетраедр Серпінського (рекурсивно поділені інстанційовані тетраедри) та 3D-килим за правилом губки Менґера. Повзунки задають кількість точок або рівень рекурсії (1–5), а кольорові схеми розфарбовують фігуру за вершиною, висотою або в монохромі. Перетягуйте для обертання, прокручуйте для масштабу, вмикайте автообертання. Такі фрактали моделюють природну шорсткість в антенах, розгалуженнях легень і пористих матеріалах.
Що таке трикутник Серпінського?
Це самоподібний фрактал, у якому вся фігура складається з трьох менших копій самої себе, кожна вдвічі менша. Видалення центрального трикутника на кожному масштабі залишає нескінченно деталізовану прокладку. Ця сторінка розширює ідею в три виміри: тетраедр Серпінського та килим у стилі Менґера.
Як гра в хаос породжує фрактал із випадкових стрибків?
Почніть з будь-якої точки всередині фігури, випадково оберіть один із чотирьох кутів тетраедра й перемістіться наполовину до нього, фіксуючи нову позицію. Повторення тисячі разів ніколи не розміщує точку у видалених областях, тому випадкове розсіювання точно осідає на фрактальному атракторі.
Що означає фрактальна розмірність у статистичній панелі?
Панель показує розмірність Хаусдорфа. Для 3D-структур Серпінського симуляція відображає 2,0 (log 4 / log 2), а для килима в стилі Менґера — приблизно 2,7268 (log 20 / log 3). Ці нецілі значення розміщують об'єкти між звичайними поверхнями та суцільними тілами.
У режимі гри в хаос повзунок «Точки» встановлює кількість випадкових точок — від 20 000 до 400 000: більше точок дають чіткішу та щільнішу хмару. У режимах тетраедра та килима повзунок «Рівень рекурсії» (від 1 до 5) керує кількістю поділів фігури, що експоненціально збільшує кількість намальованих підклітин.
Фрактальна розмірність обчислюється за формулою D = log(N) / log(s), де N — кількість самоподібних копій, а s — коефіцієнт масштабування. Плаский трикутник дає log 3 / log 2 ≈ 1,585. Тетраедр Серпінського використовує чотири копії зі масштабом два, що дає log 4 / log 2 = 2, а килим — log 20 / log 3 ≈ 2,727.
Тетраедр Серпінського будується з чотирьох копій, кожна масштабована наполовину, тому його розмірність log 4 / log 2 = 2. Примітно, що це дорівнює розмірності плоскої площини, хоча об'єкт є порожнистим і існує в 3D-просторі — ось чому його поверхні, здається, заповнюють площу попри наявні прогалини.
Правила побудови є точними: гра в хаос використовує справжню інтерполяцію до половини шляху до випадково обраних вершин, а рекурсивні режими поділяють фігуру за допомогою правильних самоподібних відображень. Відображувані розмірності відповідають теоретичним значенням. Обмеженою є лише роздільна здатність, адже справжні фрактали тривають до нескінченної глибини, тоді як екран і бюджет точок є скінченними.
Гра в хаос відтворює стохастичну хмару точок, що наближає атрактор. Режим тетраедра малює суцільні інстанційовані тетраедри, розташовані детермінованою рекурсією. 3D-килим застосовує правило губки Менґера до сітки куба, видаляючи центральні клітини на кожному поділі, щоб утворити пористу ґратку малих кубів.
«За вершиною» забарвлює кожен елемент кольором відповідного кута, виділяючи чотири підструктури. «За висотою» відображає вертикальне положення через градієнт відтінків, щоб фігура читалася як теплова карта. «Монохром» фарбує все в один синій колір, підкреслюючи форму, а не колір.
Самоподібні структури зустрічаються в розгалуженнях легень і кровоносних судин, річкових мережах, сніжинках і берегових лініях. Інженери використовують візерунки Серпінського для проектування компактних багатосмугових фрактальних антен, а геометрії у стилі Менґера застосовуються в пористих матеріалах, теплообмінниках і метаматеріалах, де важлива висока площа поверхні при малому об'ємі.
Грайте у гру чистого випадку — і дивіться, як з нього виникає фрактальний порядок. Виберіть випадкову вершину трикутника, пересуньтеся до неї наполовину, повторіть — трикутник Серпінського з'явиться магічно.
Незважаючи на те, що кожен крок є випадковим, атрактор системи ітерованих функцій — завжди один і той самий фрактал. Заборонені «дірки» не досягаються незалежно від стартової точки.
Натисніть «Старт» і дивіться, як накопичуються точки. Регулюйте швидкість для тисяч точок за секунду. Змінюйте на 4, 5 або 6 вершин з різними дробовими правилами для відкриття нових фракталів.
Трикутник Серпінського має дробову розмірність Хаусдорфа log(3)/log(2) ≈ 1,585 — більше ніж одновимірна лінія, але менше ніж двовимірна площина. Він містить нескінченно багато точок, але має нульову площу.