Як це працює
Цей симулятор генерує всі прості числа до N за допомогою решета Ератосфена, а потім візуалізує їх розподіл чотирма різними способами. Кожний вид розкриває різні властивості простих чисел.
Спіраль Улама (1963) розміщує цілі числа на квадратній спіралі, забарвлюючи прості. Діагональні патерни виникають через те, що багато простих поліномів лежать уздовж цих діагоналей. Гістограма пропусків показує розподіл відстаней між послідовними простими. Вигляд PNT будує графік π(x) проти x/ln(x) для демонстрації теореми про розподіл простих.
PNT: π(n) ~ n/ln(n) (Адамар та де ла Валле-Пуссен, 1896)
Пропуск: g(p) = next_prime(p) - p, avg g ≈ ln(p)
Бертран: ∀ n>1, ∃ просте p : n < p ≤ 2n
Решето Ератосфена працює за час O(N log log N) і пам'ять O(N) — достатньо ефективно, щоб знайти всі прості до 50,000 за мілісекунди. Після просіювання обчислюються статистика пропусків, кількість пар простих-близнюків та відношення апроксимації PNT.
Часті запитання
Що таке спіраль Улама?
Спіраль Улама (1963) розміщує цілі числа на квадратній спіралі від центру, виділяючи прості. Прості числа схильні групуватися вздовж діагональних ліній, що вказує на незвично велику кількість простих в арифметичних прогресіях.
Що таке теорема про розподіл простих чисел?
Теорема про розподіл простих (PNT) стверджує: π(n) ~ n/ln(n) при n→∞. Еквівалентно, середній пропуск між послідовними простими поблизу n приблизно ln(n). Доведено незалежно Адамаром та де ла Валле-Пуссеном у 1896 р.
Що таке прості-близнюки?
Прості-близнюки — пари простих, що відрізняються на 2: (3,5), (11,13), (17,19)... Гіпотеза про прості-близнюки стверджує, що таких пар нескінченно багато, але вона ще не доведена. Іцан Чжан довів у 2013 р., що існують нескінченно багато пар простих, що відрізняються не більш ніж на 70 мільйонів.
Що таке постулат Бертрана?
Постулат Бертрана (доведено Чебишевим у 1852 р.): для кожного n > 1 існує хоча б одне просте p, таке що n < p ≤ 2n. Це означає, що пропуски між простими не можуть бути відносно великими.
Який зв'язок гіпотези Рімана з простими числами?
Гіпотеза Рімана припускає, що всі нетривіальні нулі ζ(s) лежать на критичній прямій Re(s) = 1/2. Якщо це так, то для PNT отримуємо найкращу можливу оцінку похибки: |π(x) - Li(x)| ≤ C·√x·ln(x).
Що таке решето Ератосфена?
Решето Ератосфена знаходить всі прості до n: починаємо з усіх цілих 2…n; послідовно позначаємо кратні кожного простого як складені. Прості числа — ті, що залишились. Складність O(n log log n). Використовується тут для генерації списку простих.
Який розподіл пропусків між простими?
Пропуск між послідовними простими p і q дорівнює q-p. Гіпотеза Крамера передбачає, що максимальний пропуск поблизу n приблизно (ln n)². Розподіл нормованих пропусків g/ln(p) підпорядковується показниковому розподілу.
Що таке теорема Діріхле про прості в арифметичних прогресіях?
Теорема Діріхле (1837): для взаємно простих a та d прогресія a, a+d, a+2d, … містить нескінченно багато простих, рівномірно розподілених між φ(d) допустимими класами лишків mod d. Це пояснює діагональні патерни у спіралі Улама.
Що таке теорема Гріна-Тао?
Теорема Гріна-Тао (2004) доводить, що прості числа містять арифметичні прогресії довільної довжини — для будь-якого k існує k простих a, a+d, …, a+(k-1)d. Використовує методи ергодичної теорії.
Наскільки густими є прості числа?
Густина простих поблизу n приблизно 1/ln(n) за PNT. Довільне ціле число поблизу n є простим з ймовірністю ~1/ln(n). Густина зменшується зі зростанням n, але простих завжди нескінченно багато (Евклід, ~300 р. до н. е.).