🔷 Parkietaż Penrose'a — wzory kwaziokresowe

Parkietaż jest aperiodyczny, jeśli nie istnieje żaden wektor przesunięcia odwzorowujący go na samego siebie — wzór nigdy nie powtarza się dokładnie. Parkietaże Penrose'a osiągają to dzięki lokalnym regułom dopasowania na krawędziach kafelków (strzałki, które muszą się wyrównać), które globalnie wykluczają okresowość, wciąż pozwalając pokryć całą płaszczyznę. Dowód wykorzystuje samopodobieństwo inflacji/deflacji: gdyby parkietaż był okresowy, pozostałby okresowy po deflacji, lecz deflacja zmniejsza rozmiar kafelków o φ⁻¹ w nieskończoność, co prowadzi do sprzeczności.

Złoty podział φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 przenika całą geometrię Penrose'a. W parkietażu P3 kąty grubego rombu wynoszą 72° i 108°, a cienkiego 36° i 144° — wszystkie są wielokrotnościami 36° = π/5, bezpośrednio związanymi z pięciokątem foremnym. Stosunek liczby rombów grubych do cienkich w dużym parkietażu Penrose'a zbiega do φ : 1 ≈ 1,618 : 1. Reguła deflacji skaluje wszystkie długości przez φ⁻¹ przy każdym kroku.

Kwazikryształy to materiały w stanie stałym, których struktury atomowe wykazują symetrię pięciokrotną (lub inną niekrystalograficzną) połączoną z uporządkowaniem dalekiego zasięgu, ale bez okresowości translacyjnej — trójwymiarowy odpowiednik parkietażu Penrose'a. Dan Shechtman odkrył pierwszy kwazikryształ (stop glinu i manganu) w 1982 roku i opublikował wynik w 1984 roku; odkrycie było początkowo tak kontrowersyjne, że jego przełożony poprosił go o opuszczenie grupy badawczej. Otrzymał za nie Nagrodę Nobla w dziedzinie chemii w 2011 roku.

Każdy gruby romb zostaje zastąpiony dwoma grubymi i jednym cienkim rombem, przeskalowanymi przez φ⁻¹; każdy cienki romb zostaje zastąpiony jednym grubym i jednym cienkim rombem w tej samej skali. Po k krokach deflacji liczba kafelków rośnie w przybliżeniu jak φ^k, zachowując stosunek φ : 1 między kafelkami grubymi a cienkimi. Podstawienie jest samopodobne: fragment zdeflowanego parkietażu wygląda jak powiększona wersja oryginału, co potwierdza fraktalną strukturę.

Tak — istnieje nieprzeliczalnie wiele różnych parkietaży Penrose'a płaszczyzny, wszystkie o tych samych lokalnych właściwościach statystycznych (takich samych częstościach każdego skończonego fragmentu). Dowolne dwa parkietaże Penrose'a są lokalnie nieodróżnialne: każdy skończony obszar jednego z nich pojawia się nieskończenie wiele razy w każdym innym parkietażu Penrose'a. Ta własność, zwana lokalną nieodróżnialnością, sprawia, że globalna aperiodyczność jest niewidoczna z poziomu żadnego lokalnego fragmentu — nigdy nie można ustalić, w którym konkretnie parkietażu Penrose'a się znajdujemy, badając tylko skończony obszar.

Tak — wszystkie parkietaże Penrose'a można skonstruować, rzutując dwuwymiarowy wycinek pięciowymiarowej sieci hipersześciennej na płaszczyznę. Sieć 5D jest okresowa, a rzut 2D odbywa się pod niewymiernym kątem względem wszystkich kierunków sieci, co niszczy okresowość, zachowując pięciokrotną symetrię sieci 5D. Ta metoda „cięcia i projekcji” (lub „wycinka”) daje przejrzysty aparat algebraiczny i wyjaśnia, dlaczego kwazikryształy wykazują ostre piki dyfrakcyjne (struktura 5D jest w pełni okresowa) mimo braku okresowości translacyjnej w 3D.

Parkietaż Penrose'a P2 wykorzystuje dwa czworokątne kafelki wywodzące się z pięciokąta foremnego: „latawiec” (czworokąt o kątach 72°, 72°, 72°, 144°) i „strzałkę” (o kątach 36°, 72°, 36°, 216°). Oba mają boki w stosunku φ : 1. Reguły dopasowania (zwykle pokazywane jako łuki, które muszą się wyrównać) zapobiegają parkietażom okresowym, a stosunek liczby latawców do strzałek zbiega do φ². Parkietaże P2 i P3 są wzajemnie dualne i wzajemnie lokalnie wyprowadzalne.

Robak Conwaya (nazwany od Johna Conwaya) to łańcuch grubych i cienkich rombów w parkietażu Penrose'a P3, tworzący prosty lub niemal prosty pas przebiegający przez cały parkietaż. Conway pokazał, że każdy parkietaż Penrose'a można analizować za pomocą pięciu rodzin takich pasów (zwanych liniami Ammanna), których odstępy podążają za ciągiem Fibonacciego, z długimi (L) i krótkimi (S) odstępami w stosunku φ : 1. Wzór przecięć tych pięciu rodzin pasów koduje globalną strukturę parkietażu.

Tak — w 1997 roku Roger Penrose i firma Pentaplex Ltd wnieśli pozew przeciwko Kimberly-Clark, producentowi pikowanego papieru toaletowego Kleenex, za wytłoczenie na produkcie wzoru parkietażu Penrose'a bez licencji. Sprawa zakończyła się ugodą pozasądową. Penrose posiada patenty na swoje wzory parkietażu (brytyjski patent GB2010900 wygasł w 1997 roku), a incydent wywołał interesujące pytania o to, czy wzory matematyczne mogą być objęte prawem autorskim lub patentem.