Мозаїки Пенроуза — неперіодичні покриття площини, відкриті Роджером Пенроузом у 1970-х. Варіант P3 використовує два ромби — товстий ромб (кути 72°/108°) та тонкий ромб (кути 36°/144°) — для аперіодичного покриття площини при збереженні 5-кратної обертальної симетрії.
1/φ).φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 Кути плиток: Товстий: α = 72°, β = 108° Тонкий: α = 36°, β = 144° Масштаб дефляції: s = 1/φ за ітерацію Відношення плиток: N(товстих)/N(тонких) → φ Дифракція: піки Брегга з 10-кратною симетрією, індексуються ґраткою Z⁴
У 1984 році Ден Шехтман відкрив алюмінієво-марганцевий сплав, дифракційний патерн якого показував 10-кратну симетрію — неможливу в звичайній кристалографії. Спершу його підняли на сміх, але відкриття квазікристалів принесло йому Нобелівську премію з хімії 2011 року. Математичною моделлю квазікристалів є саме мозаїка Пенроуза.
Мозаїка Пенроуза — це неперіодичне покриття площини, відкрите математиком Роджером Пенроузом у 1970-х роках. Вона використовує невеликий набір форм плиток, які можуть покрити нескінченну площину, не повторюючи один і той самий патерн, але кожна скінченна область зустрічається нескінченно часто.
Мозаїка Пенроуза P3 використовує дві форми ромбів: товстий ромб із кутами 72° і 108°, та тонкий ромб із кутами 36° і 144°. Відношення кількості товстих ромбів до тонких у будь-якій правильній мозаїці P3 наближається до золотого перерізу φ ≈ 1.618.
Дефляція — це правило заміщення, за яким кожна плитка замінюється меншими плитками: товстий ромб розбивається на один товстий і два тонких ромби; тонкий ромб розбивається на один товстий і один тонкий ромб. Усі нові плитки масштабуються на 1/φ порівняно з оригіналом.
Кути в плитках Пенроуза кратні 36° = π/5, що є основним кутом правильного п'ятикутника. Конструкція починається з декагону (10-кратно симетричне розміщення) і всі операції дефляції зберігають 5-кратну обертальну структуру.
Квазікристал — це фізичний матеріал із впорядкованим, але неперіодичним розташуванням атомів, що демонструє дифракційні патерни із забороненими симетріями. Мозаїка Пенроуза є математичною 2D-моделлю таких структур. Ден Шехтман відкрив квазікристали у 1984 році й отримав Нобелівську премію з хімії 2011 року.
Золотий переріз φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 з'являється всюди: відношення діагоналей ромбів залучає φ, відношення кількості товстих до тонких плиток прямує до φ, коефіцієнт масштабування між рівнями дефляції точно дорівнює φ, а кути плиток є кратними 36°, косинус яких пов'язаний із φ.
Так. Мозаїка є аперіодичною, якщо вона не має трансляційної симетрії — неможливо зсунути весь патерн на будь-який ненульовий вектор і отримати збіг із собою. Пенроуз довів, що його плитки не допускають жодних періодичних мозаїк.
Існує незліченна кількість різних мозаїк Пенроуза нескінченної площини. Хоча будь-яка скінченна область однієї мозаїки зустрічається в кожній іншій (локальна нерозрізненність), глобальне розміщення ніколи не буває однаковим.
Дифракційний патерн мозаїки Пенроуза показує різкі піки Брегга з 10-кратною симетрією — саме те, що спостерігається у фізичних квазікристалах. Патерн є суто дискретним, але індексується 4-вимірною ґраткою Z⁴.
Так. Мозаїку Пенроуза P3 можна отримати, проєктуючи смугу 4-вимірної цілочисельної ґратки Z⁴ на 2D-площину під кутом, пов'язаним із золотим перерізом. Цей метод «вирізання та проєкціювання» пов'язує мозаїки Пенроуза з вищевимірною кристалографією.
Мозаїки Пенроуза — це аперіодичні покриття площини, відкриті Роджером Пенроузом у 1974 році: вони вкривають площину без зазорів і перекриттів, але, на відміну від звичайних мозаїк, ніколи точно не повторюються при будь-якому зсуві. Найпоширеніші варіанти — P2 (повітряний змій і стріла) і P3 (товстий і тонкий ромби), обидва з точною 5-кратною симетрією обертання. Відношення кількостей двох типів фігур прямує до золотого перетину f ≈ 1,618 у міру зростання мозаїки, і ця структура пов'язана з дифракційними картинами квазікристалів — відкриття, що принесло Дану Шехтману Нобелівську премію з хімії 2011 року.
Симуляція генерує мозаїки P3 за правилом дефляційного підрозділу, дозволяючи масштабувати послідовні рівні інфляції і перевіряти 5-кратну симетрію. Стрілки правил відповідності на ребрах плиток демонструють, чому жодне періодичне розташування їх не задовольняє.
Що робить мозаїку Пенроуза аперіодичною?
Мозаїка є аперіодичною, якщо не існує вектора зсуву, що відображає її в себе — візерунок ніколи точно не повторюється. Мозаїки Пенроуза досягають цього завдяки локальним правилам відповідності ребер, які глобально забороняють будь-яку трансляційну симетрію. Доведення використовує самоподібність інфляції/дефляції: якби мозаїка була б періодичною, вона залишалася б такою після дефляції, яка зменшує розмір плиток на f⁻¹ необмежено, що призводить до суперечності.
Яку роль відіграє золотий перетин у мозаїках Пенроуза?
Золотий перетин f = (1 + корінь 5)/2 приблизно 1,618 присутній скрізь у геометрії Пенроуза. У мозаїці P3 кути товстого ромба — 72 та 108 градусів, а тонкого — 36 та 144 градуси, що кратно 36 градусам і безпосередньо пов'язано з правильним п'ятикутником. Відношення товстих до тонких ромбів прямує до f : 1 у великій мозаїці. Правило дефляції масштабує всі довжини на f⁻¹ на кожному кроці.
Що таке квазікристали і як вони пов'язані з мозаїками Пенроуза?
Квазікристали — це тверді тіла, атомне розташування яких демонструє 5-кратну (або іншу некристалографічну) симетрію обертання у поєднанні з далеким порядком, але без трансляційної симетрії — 3D-аналог мозаїки Пенроуза. Ден Шехтман відкрив перший квазікристал (сплав алюмінію з марганцем) у 1982 році. Відкриття було настільки суперечливим, що його науковий керівник попросив його залишити групу. У 2011 році Шехтман отримав Нобелівську премію з хімії.
Кожен товстий ромб замінюється двома товстими і одним тонким ромбом, масштабованим на f⁻¹; кожен тонкий ромб замінюється одним товстим і одним тонким ромбом того ж масштабу. Після k кроків дефляції кількість плиток зростає як f^k, зберігаючи відношення f : 1. Підрозділ є самоподібним: область дефльованої мозаїки виглядає як збільшена версія оригіналу.
Так — існує незліченна кількість різних мозаїк Пенроуза, всі з однаковими локальними статистичними властивостями. Будь-яка скінченна ділянка однієї мозаїки зустрічається нескінченно часто в кожній іншій мозаїці Пенроуза. Ця властивість, що зветься локальною нерозрізнюваністю, означає, що глобальну аперіодичність неможливо виявити з жодної скінченної ділянки.
Так — всі мозаїки Пенроуза можна побудувати проектуванням 2D-зрізу 5D-гіперкубічної гратки на площину. 5D-гратка є строго періодичною, і 2D-проекція робиться під ірраціональним кутом до всіх напрямків гратки, знищуючи трансляційну симетрію, але зберігаючи 5-кратну симетрію 5D-структури. Цей метод пояснює, чому квазікристали демонструють гострі дифракційні піки.
Мозаїка P2 Пенроуза використовує два чотирикутники, утворені з правильного п'ятикутника: «повітряний змій» (кути 72, 72, 72, 144 градуси) і «стріла» (кути 36, 72, 36, 216 градусів). Обидві фігури мають сторони у відношенні f : 1. Правила відповідності запобігають будь-якому періодичному розташуванню, а відношення змійів до стріл прямує до f² у великій мозаїці.
Черв'як Конвея (названий на честь Джона Конвея) — це ланцюжок товстих і тонких ромбів у мозаїці P3, що утворює пряму або майже пряму смугу через усю мозаїку. Конвей показав, що кожну мозаїку Пенроуза можна аналізувати за допомогою п'яти сімейств таких смуг (Лінії Амана), проміжки яких слідують послідовності Фібоначчі у відношенні f : 1.
Так — у 1997 році Роджер Пенроуз і Pentaplex Ltd подали позов проти Kimberly-Clark за тиснення на туалетний папір Kleenex його мозаїкою без ліцензії. Справу вирішили позасудово. Пенроуз мав патенти на мозаїкові візерунки (британський патент GB2010900 закінчився у 1997 році), і цей інцидент поставив цікаві питання щодо авторського права на математичні зразки.