PL 
EnglishDomyślny
Українська🌹 Spirograf — hipotrochoidy i epitrochoidy
Rysuj parametryczne krzywe toczących się okręgów: hipotrochoidy powstają wewnątrz nieruchomego pierścienia, epitrochoidy na zewnątrz. Dobierz promienie R, r i przesunięcie pisaka d, by uzyskać rozety, gwiazdy i kardioidy.
O tej symulacji
Ta symulacja to cyfrowy spirograf: rysuje ścieżkę pisaka umieszczonego na małym okręgu o promieniu r, który toczy się bez poślizgu wewnątrz lub na zewnątrz większego, nieruchomego okręgu o promieniu R. Pisak znajduje się w odległości d od środka toczącego się okręgu. Choć mechanika jest prosta, powstałe hipotrochoidy i epitrochoidy przybierają formy od schludnych rozet i gwiazd po kardioidę w kształcie serca — wszystko sterowane garścią równań parametrycznych, aktualizowanych na żywo podczas przesuwania suwaków.
🔬 Co pokazuje
Dwie rodziny krzywych ruletkowych. W trybie Hipotrochoida mały okrąg toczy się wewnątrz nieruchomego pierścienia, dając x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r·t); w trybie Epitrochoida toczy się na zewnątrz, dając x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r·t), z odpowiednim wyrazem sinusowym dla y(t). Ustawienie r = R oraz d = r w trybie Epitrochoida daje prawdziwą kardioidę, a rysunek zawsze zamyka się po okresie 2π·r/gcd(R, r).
🎮 Jak korzystać
Przełączaj tryb Hipotrochoida / Epitrochoida, a następnie przeciągaj suwaki Outer radius R (50–200), Rolling radius r (5–100) i Pen offset d (1–200), aby zmieniać kształt krzywej. Draw speed (1–20) ustala, ile kroków kątowych jest rysowanych na klatkę, a Hue shift (0–360°) obraca kolor kreski. Pause/Play zatrzymuje rysowanie, Reset czyści płótno i zaczyna od t = 0, a Info otwiera panel z pełnymi równaniami.
💡 Czy wiesz, że...
Gdy stosunek promieni R/r wynosi dokładnie 2, hipotrochoida degeneruje się do odcinka linii prostej — pisak zdaje się poruszać w tę i z powrotem przez środek, mimo że nadal podlega tym samym równaniom toczącego się okręgu, które gdzie indziej tworzą pętle.
Najczęściej zadawane pytania
Czym różni się hipotrochoida od epitrochoidy?
Hipotrochoida powstaje, gdy okrąg toczy się wewnątrz nieruchomego pierścienia, według wzorów x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r·t) oraz y(t) = (R−r)sin(t) − d·sin((R−r)/r·t). Epitrochoida powstaje, gdy okrąg toczy się na zewnątrz nieruchomego okręgu, według tej samej postaci ze znakami plus: x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r·t). Przełączenie między trybami zmienia, po której stronie R znajduje się toczący się okrąg.
Jak narysować kardioidę tym narzędziem?
Przełącz na tryb Epitrochoida, ustaw promień toczący r równy promieniowi zewnętrznemu R, a przesunięcie pisaka d również równe r. Gdy r = R i d = r, równania epitrochoidy upraszczają się do klasycznej kardioidy — krzywej w kształcie serca, widocznej też w charakterystykach kierunkowych mikrofonów i w głównej „bańce” zbioru Mandelbrota.
Dlaczego krzywa czasem nigdy się dokładnie nie zamyka?
Rysunek powtarza się po okresie 2π·r/gcd(R, r) parametru t. Jeśli R i r mają duży wspólny dzielnik, krzywa zamyka się szybko przy niewielu pętlach; jeśli ich największy wspólny dzielnik jest mały, pisak musi wykonać znacznie więcej obiegów, zanim wzór połączy się z samym sobą.
Co decyduje o liczbie płatków we wzorze przypominającym różę?
Wzory przypominające różę powstają, gdy przesunięcie pisaka d jest równe R − r, a r dzieli się bez reszty przez R. Liczba płatków wynosi wtedy R/r, gdy ten stosunek jest nieparzysty, albo dwa razy R/r, gdy jest parzysty. Spróbuj R = 120, r = 40 i d = 80, aby uzyskać czystą różę o trzech płatkach.
Co się dzieje, gdy przesunięcie pisaka d jest większe niż promień toczący r?
Gdy d przekracza r, pisak wychodzi poza krawędź toczącego się okręgu, przez co narysowana krzywa zyskuje dodatkowe pętle zamiast pozostawać gładka. Gdy d równa się r, krzywa przechodzi dokładnie przez środek toczącej się ścieżki, a gdy d jest mniejsze od r, cała krzywa mieści się w wąskim pierścieniu wokół promienia R − r.