🌌 Fraktal 3D Mandelbulb

Raymarching przesuwa promień krok po kroku, aż trafi na powierzchnię, ale bez wiedzy, jak daleko ta powierzchnia się znajduje, potrzebowałby tysięcy drobnych, marnotrawnych kroków. Estymator odległości wykorzystuje promień r ze wzoru czasu ucieczki oraz jego skumulowaną pochodną dr, aby obliczyć matematycznie bezpieczną górną granicę tego, jak daleko promień może się przesunąć bez przekroczenia fraktala — shader tej symulacji przesuwa się dokładnie o tę odległość w każdym z maksymalnie 96 kroków, co umożliwia działanie w czasie rzeczywistym na zwykłych kartach graficznych.

Potęga n kontroluje, ile razy współrzędne kątowe θ i φ są mnożone (θ→nθ, φ→nφ) oraz jak potęgowany jest promień (r→rⁿ) przy każdej iteracji z→zⁿ+c. Niewielkie zmiany n przesuwają granicę między punktami uciekającymi a pozostającymi ograniczonymi, co reorganizuje całą strukturę samopodobną — n=8 daje słynny bulwiasty, katedralny kształt będący domyślnym ustawieniem tej symulacji, podczas gdy inne wartości n między 2 a 12 dają zauważalnie inną liczbę płatów i inne tekstury powierzchni.

Nie — dwuwymiarowy zbiór Mandelbrota opiera się na mnożeniu liczb zespolonych, które ma czystą interpretację geometryczną (mnożenie modułów, dodawanie kątów), nieprzenoszącą się jednoznacznie na trzy wymiary. Wzór „triplex” we współrzędnych sferycznych — r→rⁿ, θ→nθ, φ→nφ — zaimplementowany w tym symulatorze jest jednym z kilku popularnych wyborów wśród konkurujących uogólnień 3D, cenionym za tworzenie bogatych, organicznych detali, a nie za bycie jedynym matematycznym rozszerzeniem oryginału.

Bailout ustala promień ucieczki: gdy odległość punktu od początku układu przekroczy tę wartość (sprawdzane jako r² > bailout² w shaderze), uznaje się, że punkt uciekł i iteracja zostaje wcześniej przerwana. Max iteracji ogranicza, ile razy zastosowany zostaje wzór z→zⁿ+c, zanim zaniechana zostanie próba zbieżności. Punkty, które uciekają szybko, leżą daleko poza powierzchnią fraktala; punkty, które przetrwają cały budżet iteracji, są głęboko w jego wnętrzu — granica między tymi dwoma zachowaniami to powierzchnia fraktala renderowana przez raymarcher.

Każdy krok raymarchingu wywołuje funkcję estymatora odległości, a ta funkcja sama w sobie wykonuje pętlę aż do bieżącej wartości Max iteracji, obliczając z→zⁿ+c i aktualizując pochodną dr. Więcej iteracji pozwala testowi czasu ucieczki rozróżniać coraz drobniejsze wzory blisko granicy fraktala, ale ponieważ ta wewnętrzna pętla działa dla każdego z około 96 kroków marszu na piksel, na klatkę, podwojenie budżetu iteracji w przybliżeniu podwaja obciążenie GPU i obniża licznik FPS widoczny w panelu Statystyk.