PL 
EnglishDomyślny
Українська🎯 Deska Galtona
Animowana maszyna losująca: kulki spadają przez trójkątną planszę kołków i zbierają się w przegródkach, kreśląc rozkład dwumianowy B(n,p) — który wraz ze wzrostem n zbiega do krzywej normalnej, ilustrując centralne twierdzenie graniczne.
O desce Galtona i centralnym twierdzeniu granicznym
Ta symulacja odtwarza klasyczną „maszynę fasolkową” Francisa Galtona: kulki spadają przez trójkątny układ kołków, a przy każdym rzędzie kulka niezależnie odchyla się w lewo lub w prawo z prawdopodobieństwem p (domyślnie 0,5), zanim wyląduje w jednym z n+1 koszyków na dole. Liczba dróg prowadzących do danego koszyka po n rzędach równa jest współczynnikowi dwumianowemu C(n,k) — tym samym liczbom, które tworzą trójkąt Pascala — więc dokładny rozkład lądowania jest dwumianowy, o wartości oczekiwanej np i wariancji np(1−p).
W miarę wzrostu liczby rzędów n rozkład dwumianowy zbiega do dzwonowatej krzywej Gaussa — bezpośredniej, wizualnej demonstracji centralnego twierdzenia granicznego, które mówi, że suma wielu niezależnych wkładów losowych dąży do rozkładu normalnego niezależnie od kształtu każdego pojedynczego wkładu. Upuszczenie wielu kulek naraz buduje histogram, który zgodnie z prawem wielkich liczb zbiega do tego teoretycznego kształtu dwumianowego, podczas gdy upuszczenie jednej lub dwóch kulek daje tylko pojedynczą losową próbkę i nic nie mówi o rozkładzie leżącym u podstaw.
Często zadawane pytania
Dlaczego deska Galtona daje rozkład normalny?
Każda kulka podejmuje N niezależnych decyzji binarnych (lewo lub prawo przy każdym kołku). Całkowite przesunięcie od środka to liczba odchyleń w prawo minus liczba odchyleń w lewo, czyli suma N niezależnych zmiennych losowych ±1. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, suma wielu niezależnych zmiennych losowych o dowolnym rozkładzie zbiega do rozkładu Gaussa. Dla deski Galtona konkretnie, przy N rzędach i równych prawdopodobieństwach, wynik jest dokładnie rozkładem dwumianowym, który zbliża się do rozkładu Gaussa w miarę wzrostu N dzięki przybliżeniu Stirlinga dla silni.
Czym jest centralne twierdzenie graniczne?
Centralne twierdzenie graniczne (CTG) mówi, że jeśli zsumujesz (lub uśrednisz) dużą liczbę niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, skończonej wartości oczekiwanej μ i wariancji σ², wynikowy rozkład zbliża się do rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej Nμ i wariancji Nσ², niezależnie od kształtu pierwotnego rozkładu. Dlatego rozkłady Gaussa są tak powszechne w naturze: każda wielkość mierzona, będąca wynikiem wielu niezależnych, addytywnych wkładów (szum termiczny, błędy pomiarowe, cechy biologiczne zależne od wielu genów), będzie w przybliżeniu rozłożona normalnie.
Co się dzieje, gdy kołki są obciążone (nierówne prawdopodobieństwo lewo/prawo)?
Jeśli prawdopodobieństwo odchylenia w prawo przy każdym kołku wynosi p ≠ 0,5, otrzymany rozkład jest dwumianowy o wartości oczekiwanej Np i wariancji Np(1−p). Rozkład przesuwa się od środka: przy p > 0,5 kulki gromadzą się po prawej stronie, a przy p < 0,5 szczyt przesuwa się w lewo. Kształt pozostaje dzwonowaty (nadal zbiega do Gaussa zgodnie z CTG), ale jest skośny dla małych N i staje się symetryczny dopiero w granicy. Obciążone deski Galtona modelują procesy, w których wyniki nie są jednakowo prawdopodobne — jak nieuczciwa moneta czy cecha genetyczna z dominacją.
Jak deska Galtona wiąże się z trójkątem Pascala?
Liczba dróg prowadzących do koszyka k po N rzędach równa jest współczynnikowi dwumianowemu C(N,k), czyli wpisom trójkąta Pascala. Rząd 4 to 1,4,6,4,1, co oznacza, że przy 4 kołkach koszyk środkowy jest 6 razy bardziej prawdopodobny niż koszyki na brzegach, zgodnie z regułą Pascala C(N,k) = C(N-1,k-1) + C(N-1,k).
Jakie praktyczne zastosowania opierają się na rozkładzie normalnym, który demonstruje deska Galtona?
Rozkład normalny leży u podstaw statystyki i kontroli jakości w niemal każdej dziedzinie nauki: niepewności pomiarowych, testów z i testów t, kart kontrolnych w produkcji, znormalizowanych wyników testów oraz w przybliżeniu gaussowskich dziennych zwrotów aktywów w finansach (Black-Scholes, Value-at-Risk).
Co robi suwak Rzędów (n) i dlaczego rozkład wygląda gładziej przy większej liczbie rzędów?
Rzędy (5-16) ustalają liczbę niezależnych binarnych decyzji lewo/prawo N. Więcej rzędów oznacza więcej możliwych koszyków (N+1) i drobniejszą dyskretyzację, więc histogram coraz bardziej przypomina gładki rozkład Gaussa zamiast blokowych schodków, w miarę jak zaczyna działać centralne twierdzenie graniczne.
Dlaczego zwiększenie suwaka Rzędów poszerza też rozrzut końcowego histogramu?
Wariancja wynosi Np(1-p), co dla p=0,5 daje N/4, więc rozrzut rośnie proporcjonalnie do N, mimo że odchylenie standardowe rośnie tylko jak pierwiastek z N. Więcej rzędów oznacza więcej odrębnych koszyków rozłożonych dalej od środka, co poszerza widoczny histogram.
Czy suwak Promień kulki zmienia fizykę, czy tylko wygląd symulacji?
Promień kulki (3-8 pikseli) to czysto ustawienie renderowania, wpływające tylko na to, jak duża wydaje się każda kulka. Logika odbicia od kołka, decydująca o odchyleniu w lewo lub prawo w każdym rzędzie, pozostaje niezmieniona, więc statystyczny rozkład po koszykach się nie zmienia.
Dlaczego upuszczenie wielu kulek naraz daje bardziej rozpoznawalny kształt dzwonu niż upuszczenie jednej lub dwóch?
Ostateczny koszyk pojedynczej kulki to tylko jedna losowa próbka, która niemal nic nie mówi o kształcie rozkładu. Upuszczenie tysięcy kulek buduje histogram, który zgodnie z prawem wielkich liczb zbiega do prawdziwego dwumianowego rozkładu prawdopodobieństwa.
Czy wynik przy każdym kołku w tej symulacji jest naprawdę 50/50 i czy ma znaczenie, jeśli nie jest dokładnie taki?
Domyślna symulacja zakłada równe prawdopodobieństwo lewo/prawo, wyśrodkowując rozkład na środkowym koszyku. Niewielkie odchylenia od 50/50 przesuwają wartość oczekiwaną w jedną stronę, ale kształt dzwonu przetrwa, bo centralne twierdzenie graniczne działa dla dowolnego ustalonego prawdopodobieństwa na kołek, nie tylko dla p=0,5.