PL 
EnglishDomyślny
Українська📏 Propagacja błędów i niepewność
Jeśli z = f(x,y), to σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² (propagacja liniowa). Monte Carlo potwierdza wyniki analityczne. Interaktywny kreator wzorów dla dodawania, mnożenia i dowolnych funkcji.
Jak to działa
Liniowa propagacja błędu (rozwinięcie Taylora pierwszego rzędu) wyraża niepewność wyniku jako sumę kwadratową pochodnych cząstkowych pomnożonych przez niepewności wejściowe. Dla nieskorelowanych wejść x i y o odchyleniach standardowych σ_x i σ_y:
Symulacja Monte Carlo losuje N próbek z gaussowskich rozkładów wejściowych, oblicza z dla każdej próbki i wyznacza empiryczną średnią oraz odchylenie standardowe. Histogram powinien pokrywać się z analityczną krzywą Gaussa dla funkcji liniowych i ujawniać skośność/asymetrię dla funkcji nieliniowych.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest propagacja błędu?
Propagacja błędu (propagacja niepewności) to wpływ niepewności wejściowych na niepewność obliczonego wyniku. Jeśli z = f(x, y), niepewność wyniku σ_z zależy od niepewności wejściowych σ_x, σ_y oraz pochodnych cząstkowych f.
Jaki jest wzór liniowej (pierwszego rzędu) propagacji błędu?
Dla nieskorelowanych wejść: σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y². Wzór ten wynika z rozwinięcia Taylora funkcji f pierwszego rzędu wokół wartości średnich. Jest dokładny dla funkcji liniowych i przybliżony dla nieliniowych.
Kiedy liniowa propagacja błędu zawodzi?
Propagacja liniowa zawodzi, gdy funkcja jest silnie nieliniowa w zakresie niepewności wejściowej lub gdy niepewności wejściowe są duże względem skali funkcji. W takich przypadkach symulacja Monte Carlo daje dokładniejsze wyniki.
Jak działa niepewność Monte Carlo?
Analiza niepewności metodą Monte Carlo losuje wiele próbek z rozkładów wejściowych (zwykle gaussowskich, o średniej ± odchyleniu standardowym), oblicza funkcję dla każdej próbki i wyznacza odchylenie standardowe uzyskanych wyników.
Jaka jest niepewność sumy z = x + y?
Dla z = x + y przy nieskorelowanych x, y: σ_z = √(σ_x² + σ_y²). Niepewności bezwzględne dodają się kwadratowo.
Jaka jest niepewność iloczynu z = x·y?
Dla z = x·y: (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)². Niepewności względne dodają się kwadratowo.
Jaka jest niepewność z = x^n?
Dla z = x^n: σ_z/z = |n| · σ_x/x. Potęgowanie wzmacnia niepewność względną o współczynnik |n|.
Czym jest współczynnik rozszerzenia i przedział ufności?
Współczynnik rozszerzenia k mnoży niepewność standardową, dając niepewność rozszerzoną na żądanym poziomie ufności. Dla rozkładu normalnego k=1 daje 68%, k=2 daje 95%, a k=3 daje 99,7%.
Jaka jest różnica między dokładnością a precyzją?
Dokładność opisuje bliskość do wartości prawdziwej (błąd systematyczny / obciążenie). Precyzja opisuje powtarzalność — bliskość powtarzanych pomiarów względem siebie (błąd losowy / odchylenie standardowe).
Czym jest GUM i dlaczego jest ważny?
Przewodnik po wyrażaniu niepewności pomiaru (GUM), opracowany przez BIPM, dostarcza międzynarodowo ujednoliconych metod oceny i wyrażania niepewności pomiarowej. Definiuje oceny typu A (statystyczne) i typu B (inne metody).
O tej symulacji
Ta symulacja porównuje dwa sposoby wyznaczania niepewności z = f(x,y): analityczny wzór Taylora pierwszego rzędu σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² oraz metodę siłową Monte Carlo, która losuje tysiące par (x,y) z rozkładów gaussowskich i oblicza z bezpośrednio dla każdej z nich. Czerwona analityczna krzywa Gaussa nakłada się na niebieski histogram Monte Carlo, dzięki czemu dokładnie widać, kiedy obie metody się zgadzają, a kiedy się rozchodzą.
🔬 Co pokazuje
Histogram wartości z uzyskanych metodą Monte Carlo z nałożoną analityczną krzywą Gaussa, przerywaną linią oznaczającą średnią Monte Carlo, zacieniowanym pasmem ±1σ oraz panelem statystyk porównującym średnie, odchylenia standardowe i ich różnicę względną z metody analitycznej i Monte Carlo.
🎮 Jak korzystać
Wybierz wzór (sumę, różnicę, iloczyn, iloraz, kwadrat lub przeciwprostokątną) z listy rozwijanej, ustaw średnią i σ dla x i y za pomocą suwaków, dostosuj liczbę próbek Monte Carlo i kliknij Resample, aby odświeżyć porównanie.
💡 Czy wiesz, że?
Dla liniowych wzorów z=x+y i z=x−y krzywe analityczna i Monte Carlo powinny nakładać się niemal idealnie, niezależnie od tego, jak duże są σ_x i σ_y — ale przełącz się na z=√(x²+y²) lub z=x·y i zwiększ niepewności wejściowe, a zobaczysz, jak histogram wyraźnie odchyla się od symetrycznego rozkładu Gaussa przewidywanego przez wzór liniowy, ujawniając dokładnie, gdzie propagacja błędu pierwszego rzędu przestaje działać.
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego wartości σ_z z metody analitycznej i Monte Carlo czasem się nie zgadzają?
Wzór analityczny to przybliżenie Taylora pierwszego rzędu, ważne tylko wtedy, gdy funkcja jest niemal liniowa w zakresie obejmowanym przez niepewności wejściowe; dla prawdziwie nieliniowych wzorów, takich jak z=x² czy z=√(x²+y²), zwiększanie σ_x lub σ_y względem średniej sprawia, że rzeczywisty rozkład odchyla się od rozkładu Gaussa, co bezpośrednio pokazuje statystyka „Relative diff”.
Dlaczego z = x² zachowuje się tak inaczej niż z = x + y?
Dodawanie jest dokładnie liniowe, więc jego pochodne cząstkowe (obie równe 1) są wszędzie stałe, a wzór pierwszego rzędu jest dokładny niezależnie od σ; podnoszenie do kwadratu ma pochodną 2x, która zmienia się wraz z samym x, więc propagowana niepewność jest jedynie lokalnym przybliżeniem liniowym — zwiększenie σ_x dla wzoru z=x² to najszybszy sposób, by zobaczyć, jak histogram wyraźnie odchodzi od czerwonej krzywej analitycznej.
Co dokładnie poprawia zwiększenie suwaka liczby próbek MC?
Większa liczba próbek zmniejsza szum statystyczny samego oszacowania Monte Carlo (empiryczna średnia i odchylenie standardowe zbiegają do swoich prawdziwych wartości wraz ze wzrostem liczby próbek), dając gładszy histogram — nie zmienia to jednak, czy dana funkcja jest liniowa, więc nie naprawi rozbieżności wynikającej z rzeczywistej nieliniowości.
Dlaczego wzór iloczynu z = x·y wymaga niepewności względnych, a nie bezwzględnych?
Ponieważ ∂(xy)/∂x = y oraz ∂(xy)/∂y = x, podstawienie do ogólnego wzoru i podzielenie przez z=xy upraszcza się algebraicznie do (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)² — dlatego właśnie wzory dla iloczynu i ilorazu wyraża się konwencjonalnie jako niepewność ułamkową/procentową, a nie bezwzględną.
Dlaczego histogram czasem wygląda asymetrycznie, mimo że oba wejścia mają rozkład idealnie gaussowski?
Każde nieliniowe przekształcenie rozkładu symetrycznego może wprowadzić skośność — na przykład dzielenie dwóch rozkładów gaussowskich (z=x/y) daje rozkład o cięższych ogonach niż którykolwiek z wejść, zwłaszcza gdy niepewność y jest na tyle duża, że próbki mogą zbliżać się do zera — przypadek, którego nie ujmuje założenie stałej pochodnej we wzorze liniowym.
Zbuduj wzór dla z = f(x,y) i obserwuj, jak Monte Carlo potwierdza analityczną propagację błędu σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y².
3D · Three.js / WebGL renderer · 60 FPS target · runs fully client-side, no install