Синя лінія = теоретична PMF · Червона крива = апроксимація Гаусса · Стовпці = реальна кількість
Дошка Гальтона (або "бобова машина"), винайдена сером Френсісом Гальтоном у 1873 році, — це фізичний пристрій, що демонструє виникнення нормального (гаусового) розподілу з безлічі випадкових бінарних рішень. Кулі падають крізь трикутну решітку штирів; на кожному штирі куля з рівною ймовірністю відхиляється ліворуч або праворуч. Пройшовши крізь N рядів штирів, кожна куля здійснює N незалежних бінарних виборів і потрапляє в один з N+1 відсіків унизу. Розподіл куль по відсіках наближається до біноміального розподілу, який зі зростанням N збігається до нормального.
Математичну основу становить біноміальний розподіл: після N рядів імовірність того, що куля потрапить у відсік k (рахуючи зліва), дорівнює C(N,k)·(0,5)^N. Для великих N, за центральною граничною теоремою (ЦГТ), цей розподіл наближається до гаусового із середнім N/2 і дисперсією N/4, що дає стандартне відхилення √(N)/2. ЦГТ загалом стверджує, що сума багатьох незалежних однаково розподілених випадкових величин — незалежно від їхнього власного розподілу — прямує до нормального розподілу. Саме тому багато природних вимірювань (зріст, результати тестів, похибки вимірювань) підпорядковуються дзвоноподібній кривій.
Цей симулятор кидає кулі крізь дошку Гальтона і показує зростаючу гістограму поряд із теоретичним біноміальним/гаусовим розподілом. Ви можете керувати кількістю рядів, початковим зміщенням (роблячи відхилення ліворуч/праворуч нерівноймовірними) та швидкістю випуску куль, щоб дослідити, наскільки швидко розподіл збігається до нормального, як нерівні ймовірності зсувають розподіл і як розмір вибірки впливає на відповідність між емпіричною гістограмою та теоретичною кривою.
Чому дошка Гальтона породжує нормальний розподіл?
Кожна куля робить N незалежних бінарних виборів (ліворуч або праворуч на кожному штирі). Загальне зміщення від центру дорівнює кількості відхилень праворуч мінус кількість відхилень ліворуч — тобто сумі N незалежних випадкових величин ±1. За центральною граничною теоремою сума багатьох незалежних випадкових величин із будь-яким розподілом прямує до гаусового. Для дошки Гальтона зокрема, з N рядами й рівними ймовірностями, результат є точно біноміальним, який наближається до нормального зі зростанням N завдяки наближенню Стірлінга для факторіалів.
Що таке центральна гранична теорема?
Центральна гранична теорема (ЦГТ) стверджує, що якщо підсумувати (або усереднити) велику кількість незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченним середнім μ та дисперсією σ², результуючий розподіл наближається до нормального розподілу із середнім Nμ та дисперсією Nσ², незалежно від форми початкового розподілу. Саме тому гаусові розподіли настільки поширені в природі: будь-яка виміряна величина, що є результатом багатьох незалежних адитивних внесків (тепловий шум, похибки вимірювань, біологічні ознаки, на які впливають багато генів), буде приблизно нормально розподілена.
Що відбувається, якщо штирі зміщені (нерівна ймовірність ліворуч/праворуч)?
Якщо ймовірність відхилення праворуч на кожному штирі дорівнює p ≠ 0.5, результуючий розподіл є біноміальним із середнім Np та дисперсією Np(1−p). Розподіл зміщується від центру: при p > 0.5 кулі накопичуються праворуч; p < 0.5 зсуває пік ліворуч. Форма залишається дзвоноподібною (усе ще прямує до гаусової за ЦГТ), але скошена для малих N і стає симетричною лише в границі. Зміщені дошки Гальтона моделюють процеси, де результати нерівноймовірні — наприклад, зважена монета або генетична ознака з домінантністю.
Кількість шляхів через дошку Гальтона, що ведуть до відсіку k (від 0 зліва) після N рядів, дорівнює біноміальному коефіцієнту C(N,k) — це точно елементи трикутника Паскаля. Ряд N трикутника Паскаля дає ненормовані кількості куль у відсіках: ряд 4 — це 1,4,6,4,1, тобто при 4 штирях центральний відсік у 6 разів імовірніший за крайні. Біноміальні коефіцієнти зростають за правилом Паскаля C(N,k) = C(N-1,k-1) + C(N-1,k), що відображає той факт, що кожен відсік отримує кулі з двох відсіків безпосередньо над ним у попередньому ряду.
Нормальний розподіл, що виникає за принципом дошки Гальтона, лежить в основі статистики та контролю якості в науці й інженерії. Похибки вимірювань у фізичних лабораторіях підпорядковуються гаусовим розподілам; z-тест і t-тест для перевірки статистичної значущості припускають нормальність. Контроль якості у виробництві використовує контрольні карти на основі нормального розподілу для виявлення відхилень процесу. Стандартизовані результати тестів спроєктовано так, щоб бути нормально розподіленими. У фінансах щоденна дохідність активів приблизно (хоча й не точно) гаусова, що лежить в основі моделі ціноутворення опціонів Блека-Шоулза та розрахунків показника Value-at-Risk.