Спірограф малює красиві математичні криві, котячи коло всередині або зовні нерухомого кола. Перо, прикріплене на деякій відстані від центра котного кола, описує параметричну траєкторію — гіпотрохоїду (котіння всередині) або епітрохоїду (котіння зовні).
2π · r / НСД(R, r).Гіпотрохоїда (котіння всередині):
x(t) = (R−r)·cos(t) + d·cos((R−r)/r · t)
y(t) = (R−r)·sin(t) − d·sin((R−r)/r · t)
Епітрохоїда (котіння зовні):
x(t) = (R+r)·cos(t) − d·cos((R+r)/r · t)
y(t) = (R+r)·sin(t) − d·sin((R+r)/r · t)
Період: T = 2π · r / НСД(R, r)
Коли R = 2r у гіпотрохоїді, котне коло рівно двічі вміщується в нерухомому, і перо малює пряму лінію-діаметр — неймовірний результат для механічної іграшки! Якщо встановити r = R та d = r в режимі епітрохоїди, отримаємо кардіоїду — культову серцеподібну криву, що зустрічається у множині Мандельброта і в каустиках кави.
Досліджуйте параметричні криві котячих коліс в інтерактивному режимі. Гіпотрохоїда описується, коли мале коло котиться всередині нерухомого кільця; епітрохоїда — коли зовні. Регулюючи зовнішній радіус R, радіус кочення r і зміщення пера d, можна отримати нескінченну різноманітність троянд, зірок, петльових кривих і знамениту кардіоїду — все з одного простого механічного принципу.
Що таке гіпотрохоїда?
Гіпотрохоїда — це крива, яку описує точка, прикріплена до малого кола, що котиться всередині більшого нерухомого кола. Параметричні рівняння: x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r · t), y(t) = (R−r)sin(t) − d·sin((R−r)/r · t), де R — радіус зовнішнього кола, r — радіус котного кола, d — відстань пера від центра котного кола.
Що таке епітрохоїда?
Епітрохоїда — крива, яку описує точка на колі, що котиться зовні нерухомого кола. Рівняння: x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r · t), y(t) = (R+r)sin(t) − d·sin((R+r)/r · t). Відомі приклади: кардіоїда (d = r, r = R) та лімасон Паскаля.
Як працює іграшка-спірограф?
Іграшка-спірограф складається з зубчастих пластикових кілець і шестерень. Менша шестерня вставляється всередину (або зовні) нерухомого кільця, а перо — в один із отворів. Коли шестерня котиться, перо малює гіпотрохоїду або епітрохоїду. Співвідношення R/r і положення отвору d визначають малюнок.
Крива замкнеться після повного циклу 2π · r / НСД(R, r) по параметру t, що відповідає r / НСД(R, r) повним оборотам котного кола і R / НСД(R, r) обходам навколо нерухомого кола. Якщо R/r ірраціональне, крива ніколи точно не замкнеться і щільно заповнить кільцеву область.
Кардіоїда — це епітрохоїда з r = R та d = r. Її назва походить від грецького слова «серце». Вона зустрічається в мікрофонних діаграмах спрямованості, на межі головного опуклого компонента множини Мандельброта та у вигляді каустики у чашці кави.
Пелюсткова крива (родонея) з'являється, коли d = R − r (перо на окружності котного кола) і r рівно ділить R. Кількість пелюсток дорівнює R/r, якщо R/r непарне, або 2R/r, якщо R/r парне. Спробуйте R = 120, r = 40, d = 80 для трипелюсткової троянди.
Криві спірографа — це замасковані ряди Фур'є: кожен синусоїдальний доданок у параметричній сумі відповідає одній гармоніці. Гіпотрохоїди та епітрохоїди є частковими випадками Рулеток — кривих, утворених коченням однієї кривої по іншій, що вивчали Ейлер і Бернуллі.
Найбільший спільний дільник (НСД) R і r визначає період кривої. Для форми важливе лише скорочене відношення (R − r)/r. Криві з однаковим відношенням, але різними абсолютними радіусами мають однакову форму. НСД = 1 означає, що мала шестерня має зробити R обертів до повторення малюнку.
Коли d > r перо виходить за межі котного кола, утворюючи криві з петлями. Для гіпотрохоїд при d > r крива може виходити за межі нерухомого кільця. При d = r крива проходить через центр шляху котіння; при d < r крива лежить у кільцевій смузі між радіусами |R−r−d| і R−r+d.
Обидва є параметричними кривими з синусоїдальними складовими, але різняться за структурою. Фігури Ліссажу використовують x = A·sin(at + δ), y = B·sin(bt) з незалежними амплітудами і частотами, тоді як криві спірографа пов'язують амплітуду і частоту через геометрію кочення. При R/r = 2 гіпотрохоїда виродкується у пряму лінію — вироджена фігура Ліссажу.