Квадрат ділять на сітку 3×3 з дев'яти менших квадратів, центральний квадрат видаляють, і процес повторюється в кожному з восьми квадратів, що залишилися. Змінюйте глибину рекурсії, інвертуйте, щоб побачити видалені отвори, та вмикайте анімацію покрокового поділу.
«Килим Серпінського» будують, беручи квадрат, ділячи його на сітку 3×3 з дев'яти рівних менших квадратів, видаляючи центральний квадрат, а потім повторюючи той самий крок поділу й видалення в кожному з восьми квадратів, що залишилися. Кожен додатковий рівень збільшує кількість заповнених квадратів у вісім разів, водночас зменшуючи загальну заповнену площу в 8/9 разів, утворюючи складну решітку отворів — фундаментальний приклад самоподібного фрактала.
Квадрат рекурсивно ділять на сітку 3×3 з видаленням центру на кожному рівні аж до обраної глибини ітерації n. Симуляція справді проходить рекурсивно через геометрію — на глибині n є рівно 8n заповнених квадратів, що покривають частку (8/9)n початкової площі, обидва значення обчислюються наживо й показуються в блоці статистики.
Перетягуйте повзунок ітерації від 0 до 6, щоб змінити глибину рекурсії, оберіть колір заливки та вмикайте Інверсію, щоб показати видалені центральні отвори замість структури, що залишилася. Увімкніть Анімацію, щоб побачити поділ рівень за рівнем, або вимкніть її, щоб миттєво намалювати кінцевий візерунок; кнопка «Повторити анімацію» перезапускає показ, а «Скинути» повертає типові значення.
Килим Серпінського має фрактальну розмірність log(8)/log(3) ≈ 1.893 — більше за лінію, але менше за заповнену площину. Це також «універсальна» плоска крива: математики довели, що будь-яку можливу криву на площині без самоперетинів можна знайти десь усередині структури килима.
Килим Серпінського — це плоский фрактал, утворений поділом квадрата на сітку 3×3 з дев'яти рівних менших квадратів, видаленням центрального квадрата та повторенням того самого процесу в кожному з восьми квадратів, що залишилися, нескінченно. Його вперше описав польський математик Вацлав Серпінський у 1916 році.
Трикутник Серпінського видаляє середній трикутник із трикутника, поділеного на чотири частини, тоді як килим Серпінського видаляє середній квадрат із квадрата, поділеного на сітку 3×3 з дев'яти частин. Обидва є класичними самоподібними фракталами, побудованими шляхом рекурсивного видалення центральної частини, але килим базується на квадратах і поділі 3×3, а не на трикутниках і поділі навпіл.
Після n ітерацій залишається рівно 8n заповнених квадратів, оскільки кожен крок поділу зберігає 8 із 9 квадратів у сітці, і це відбувається незалежно в кожному квадраті, що вижив на попередньому рівні. Наприклад, на глибині 3 є 83 = 512 квадратів.
Кожен рівень зберігає 8/9 площі, яка була до нього, тож після n ітерацій площа, що залишається, становить (8/9)n від початкового квадрата. Ця частка прямує до нуля зі зростанням n, хоча кількість окремих квадратів зростає без обмежень, і саме цей парадокс робить корисним поняття фрактальної розмірності.
Його гаусдорфова розмірність дорівнює log(8)/log(3), приблизно 1,8928. Це значення лежить між розмірністю простої кривої (1) та заповненої двовимірної площини (2), відображаючи те, що килим заповнює простір ретельніше, ніж лінія, але залишає нескінченну кількість отворів, тож ніколи не заповнює всю площину.