Куб ділиться на сітку 3×3×3 із двадцяти семи менших кубів, центральний куб і шість кубів у центрах граней видаляються, а процес повторюється всередині кожного з двадцяти кубів, що залишилися. Змінюйте глибину рекурсії, вмикайте каркасний режим і обертайте цей справжній рекурсивний 3D-фрактал.
Губка Менгера будується так: беремо куб, ділимо його на сітку 3×3×3 із двадцяти семи рівних підкубів, видаляємо єдиний центральний підкуб та шість підкубів у центрі кожної грані, а потім повторюємо цей самий крок поділу й видалення в кожному з двадцяти кубів, що залишились. Кожен додатковий рівень збільшує кількість заповнених кубів у двадцять разів, водночас зменшуючи загальний заповнений об'єм у 20/27 разів, утворюючи складну сітку тунелів — один із найвідоміших тривимірних фракталів.
Куб дійсно рекурсивно проходить через поділ 3×3×3, видаляючи центральний і шість граневих підкубів на кожному рівні, до обраної глибини рекурсії n. На глибині n є рівно 20n заповнених підкубів, що покривають частку (20/27)n початкового об'єму — обидва значення обчислюються наживо й відображаються за допомогою єдиного інстансованого меша для продуктивності, а потім показуються у блоці статистики.
Перетягуйте повзунок рівня рекурсії від 0 до 3, щоб змінити глибину фрактала, перемикайтеся між суцільним і каркасним відображенням та вмикайте авто-обертання, щоб камера оберталася автоматично. Перетягуйте, щоб обертати вручну, прокручуйте або зводьте пальці для масштабування, і натисніть «Скинути камеру», щоб повернутися до вигляду за замовчуванням.
Губка Менгера має фрактальну розмірність log(20)/log(3) ≈ 2,727 — більше за плоску площину, але менше за суцільне тіло. Зі збільшенням рекурсії її об'єм прямує до нуля, тоді як площа поверхні зростає необмежено, наближаючись до фігури з практично нескінченною поверхнею, що охоплює практично нульовий об'єм.
Губка Менгера — це тривимірний фрактал, утворений діленням куба на сітку 3×3×3 із двадцяти семи рівних підкубів, видаленням центрального підкуба та шести підкубів у центрі кожної грані, і нескінченним повторенням того самого процесу в кожному з двадцяти підкубів, що залишились. Її вперше описав австрійсько-американський математик Карл Менгер у 1926 році.
Починаючи із суцільного куба, його ділять на двадцять сім менших кубів, розташованих у сітці 3×3×3. Куб точно в центрі та шість кубів, центрованих на кожній грані, видаляються, залишаючи двадцять кубів у кутах і на ребрах сітки. Те саме правило поділу й видалення потім застосовується знову в кожному з цих двадцяти кубів, і так на кожному наступному рівні.
Після n ітерацій залишається рівно 20n заповнених підкубів, оскільки кожен крок поділу зберігає 20 із 27 кубів у сітці, і це відбувається незалежно в кожному кубі, що вижив на попередньому рівні. Наприклад, на глибині 3 є 203 = 8 000 кубів.
Кожен рівень зберігає 20/27 об'єму, що був до нього, тож після n ітерацій залишковий об'єм становить (20/27)n від початкового куба, прямуючи до нуля зі зростанням n. Водночас кожен крок видалення відкриває нові внутрішні грані, тож загальна площа поверхні губки фактично зростає необмежено, навіть коли її об'єм зникає.
Її розмірність Гаусдорфа дорівнює log(20)/log(3), приблизно 2,7268. Це значення лежить між розмірністю плоскої площини (2) і суцільного заповненого куба (3), відображаючи те, що губка заповнює простір ретельніше, ніж будь-яка плоска поверхня, але залишає нескінченно багато отворів, тому ніколи не заповнює повний суцільний об'єм.