Цей дослідник відтворює множину Мандельброта та множини Жюліа у реальному часі за допомогою фрагментного шейдера WebGL 2. Кожен піксель екрана відповідає точці на комплексній площині й проганяється через ітерацію z = z² + c. Шейдер підраховує, наскільки швидко значення втікає за межі певного радіуса, і перетворює цю швидкість втечі на колір, застосовуючи формулу плавної ітерації, щоб уникнути смуг. Оскільки межа містить нескінченну деталізацію, можна безперервно панорамувати й масштабувати, щоразу відкриваючи нові самоподібні структури.
Візуалізацію часу втечі для двох класичних фракталів, що випливають з одного правила z = z² + c. Для множини Мандельброта z починається з 0, а c є координатою пікселя; для множини Жюліа c лишається фіксованим, тоді як z починається з пікселя. Точка вважається такою, що втекла, щойно x² + y² перевищить 256, а плавний log-log підрахунок ітерацій визначає колір.
Оберіть Мандельброта або Жюліа в меню Mode та виберіть палітру (Cosmic, Fire, Ocean, Neon або Greyscale). Повзунок Iterations працює від 64 до 1024 і керує деталізацією межі. У режимі Жюліа тягніть Re(c) та Im(c) або натискайте пресети на кшталт Spiral, Rabbit чи Dragon. Перетягуйте, щоб панорамувати, прокручуйте або двічі клацайте для масштабування, користуйтеся цілями Zoom targets для орієнтирів Мандельброта, а щоб відцентрувати, натисніть R чи Reset view.
Межа множини Мандельброта має фрактальну (гаусдорфову) розмірність рівно 2, тож вона достатньо зім'ята, щоб майже заповнити площу, а проте сама множина охоплює скінченну площу приблизно 1,5065 квадратних одиниць.
Це множина комплексних чисел c, для яких ітерація z = z² + c, розпочата з z = 0, лишається обмеженою назавжди, а не мчить у нескінченність. Точки всередині множини тут малюються чорними, тоді як точки ззовні розфарбовуються за тим, наскільки швидко вони втікають. Результат — одна з найвідоміших форм фрактальної геометрії.
Кожен піксель перетворюється на комплексне число на площині й подається у цикл z = z² + c, що повторюється до обраної межі ітерацій (від 64 до 1024). Точка вважається такою, що втекла, щойно x² + y² перевищить 256, а шейдер фіксує плавний підрахунок ітерацій із log-log корекцією. Це значення відображається через обрану палітру, щоб надати кожному пікселю його колір.
Обидва використовують ту саму формулу, але задають її по-різному. У режимі Мандельброта стала c є координатою пікселя, а z починається з нуля. У режимі Жюліа c — це єдине фіксоване значення, яке ви задаєте повзунками Re(c) та Im(c), тоді як z починається з координати пікселя, тож кожен вибір c дає цілком іншу множину Жюліа.
Точкам поблизу межі потрібно багато кроків, перш ніж стане зрозуміло, чи вони втечуть. Низька межа ітерацій зупиняється надто рано і зараховує точки, що повільно втікають, до внутрішньої частини, розмиваючи тонкі нитки. Збільшення межі дає цим точкам більше шансів розбігтися, виявляючи тонші відгалуження й глибшу деталізацію — ціною більшої роботи на кожен піксель.
Ітерація та перевірка втечі точно відповідають стандартному алгоритму часу втечі, тож показана структура є справжньою. Головне обмеження — точність: шейдер використовує 32-бітні числа з рухомою комою, тож на надзвичайних рівнях масштабування похибки округлення зрештою роблять зображення пікселізованим. Формула плавного розфарбування є технікою відображення й не змінює того, які точки належать до множини.
Досліджуйте нескінченно глибокі фрактали Мандельброта та Жюліа: складні красиві структури, що повторюються у будь-якому масштабі. Занурюйтеся в будь-яку точку — і знайдете там ту ж складність.
Множина Мандельброта — це набір складних чисел c, для яких ітерація z → z² + c не іде у нескінченність. Межа цього набору є нескінченно складним фракталом з розмірністю Хаусдорфа ≈ 2.
Клацайте і перетягуйте для навігації. Прокручуйте для масштабування. Клацайте на будь-яку точку межі Мандельброта, щоб переглянути відповідну множину Жюліа. Змінюйте колірні схеми.
Слово «фрактал» було придумано Бенуа Мандельбротом у 1975 році, але сама структура з'явилася на екрані у 1978–80 рр. Фрактали описують берегові лінії, хмари, гори, дерева і бронхіальні трубки — природа є фрактальною.