Рекурсивно замінюйте середню третину кожного ребра на дві сторони рівностороннього трикутника, що виступає назовні. Оберіть початковий трикутник, квадрат або шестикутник і спостерігайте, як виникає справжня фрактальна крива, у якій периметр зростає необмежено, а площа, яку вона охоплює, збігається.
Цей інструмент будує сніжинку Коха — фрактальну криву, яка отримується рекурсивною заміною середньої третини кожного ребра початкового багатокутника на дві сторони рівностороннього трикутника, що виступає назовні. Оберіть трикутник, квадрат або шестикутник як початкову форму, задайте кількість ітерацій — і спостерігайте, як з'являється справді обчислена фрактальна межа: не анімаційний трюк, а реальна рекурсивна геометрія з точними значеннями периметра та площі, що оновлюються наживо.
Кожне ребро базового багатокутника ділиться на три частини, і середня частина замінюється двома сторонами рівностороннього трикутника, що вигинається назовні. Застосування цього правила до кожного нового ребра, ітерація за ітерацією, вчетверо збільшує кількість ребер щоразу і утворює справжню криву Коха — не готове зображення, а перераховану геометрію для кожної обраної ітерації та форми.
Оберіть початкову форму (трикутник, квадрат або шестикутник), потім перетягніть повзунок ітерації від 0 до 7, щоб побачити, як межа стає детальнішою. Увімкніть анімацію побудови, щоб простежити криву ребро за ребром, перемкніть антисніжинку, щоб вигнути виступи всередину замість назовні, оберіть колір лінії та скористайтеся кнопкою "Скинути" для повернення до значень за замовчуванням.
Кожна ітерація множить периметр на 4/3, тож довжина межі зростає без будь-якої верхньої межі при продовженні ітерацій — проте площа, яку охоплює крива, ніколи не перевищує фіксованого значення. Для трикутного старту ця гранична площа точно дорівнює (2√3/5)s², приблизно у 8/5 раза більше за площу початкового трикутника.
Сніжинка Коха — це фрактальна крива, утворена шляхом взяття багатокутника і багаторазової заміни середньої третини кожного ребра на дві сторони рівностороннього трикутника, що виступає назовні. Вперше описана Хельге фон Кохом у 1904 році, вона є одним з найперших прикладів кривої, неперервної всюди, але без дотичної в жодній точці.
Кожна ітерація множить довжину кожного ребра на 4/3, а кількість ребер збільшується вчетверо, тож загальний периметр множиться на 4/3 щоразу і зростає без обмежень. Площа ж, навпаки, отримує щоразу меншу кількість нових трикутників — кожен новий виступ має площу, що дорівнює дев'ятій частині площі виступів попереднього покоління — тож сума всієї доданої площі збігається до фіксованого скінченного значення.
Антисніжинка, або антисніжинка Коха, використовує те саме правило заміни, але вигинає кожен новий трикутний виступ всередину, а не назовні. Отримана крива має таке саме зростання периметра, як звичайна сніжинка, але охоплює меншу площу, оскільки виступи "з'їдають" частину фігури, а не додають до неї.
Правило поділу Коха застосовується однаково до кожного ребра незалежно від того, з якого правильного багатокутника ви починаєте, тож те саме зростання периметра на 4/3 та збіжність площі спостерігаються для трикутника, квадрата чи шестикутника. Відрізняється лише початкова кількість сторін, базова площа та тонша візуальна текстура отриманої сніжинки.
Це справді обчислюється. Кожне ребро ділиться за точним рекурсивним правилом, генеруючи фактичні координати точок для заданої кількості ітерацій, форми та стану анімації. Відображені периметр і площа обчислюються безпосередньо з тих самих геометричних параметрів, а не є жорстко заданими значеннями.