Оберіть функцію та метод, посуньте межі й кількість підрозділів —
спостерігайте, як заштриховані прямокутники наближаються до точної
площі під кривою.
—
Наближення
—
Точний інтеграл
—
Похибка
—
Суми Рімана
Сума Рімана наближає площу під f(x), підсумовуючи площі n
прямокутників (або трапецій) рівної ширини Δx = (b−a)/n. При n → ∞
сума збігається до точного визначеного інтегралу ∫ₐᵇ f(x) dx.
Сума Рімана оцінює площу під кривою, розрізаючи інтервал на тонкі смуги
й додаючи площу кожної з них — це фундаментальна ідея, що лежить в основі
визначеного інтеграла. Таке чисельне інтегрування застосовують усюди: від
фізичних рушіїв та обробки сигналів до фінансового моделювання, де точні
первісні часто не існують. Захопливо спостерігати, як зубчасті
прямокутники стискаються до плавної, точної площі, коли ви додаєте більше
підрозділів.
Як це працює
Оберіть функцію f(x) та інтервал [a, b].
Інтервал ділиться на n смуг однакової ширини Δx = (b−a)/n.
Висота кожної смуги визначається обраним правилом (ліве, праве, серединне, трапеція чи Сімпсон).
Площі смуг підсумовуються й порівнюються з точним інтегралом, щоб показати похибку.
Ключові рівняння
∫[a,b] f(x) dx ≈ Δx · Σ f(x_i) — Δx = (b−a)/n це ширина
смуги, x_i точки вибірки, а сума береться по всіх n смугах.
Керування
Вкладки методів — перемикання між правилами Ліве, Праве, Середина, Трапеція та Сімпсон.
Функція — вибір кривої f(x) для інтегрування.
Повзунки a / b — задають нижню та верхню межі інтервалу.
Повзунок n — змінює кількість підрозділів; спостерігайте, як зменшується похибка.
Чи знали ви?
Метод Сімпсона проводить параболу через кожну пару смуг, тому він точно
інтегрує будь-який кубічний многочлен — хоча й дивиться лише на три точки
вибірки. Ця додаткова точність майже безкоштовна, тому метод досі
залишається робочим інструментом наукових обчислень.