Ця симуляція розкладає цілі числа від 1 до N уздовж звивистого шляху й підсвічує прості, оголюючи структуру, невидиму у звичайному списку. Решето Ератосфена позначає кожне просте число до N, після чого кожне число відображається в позицію на екрані: квадратна сітка для спіралі Улама, полярні координати для спіралі Сакса й золотий кут для соняшника Фібоначчі. Прості числа малюються кольором, а складені лишаються темними.
Оберіть тип спіралі, задайте N від 100 до 20 000, відрегулюйте розмір комірки Улама й виберіть кольорову схему (синю, золоту, веселку за сумою цифр чи теплову карту густини). Ви можете панорамувати перетягуванням, масштабувати прокруткою, перемальовувати та експортувати вигляд у PNG. Окрім візуальної привабливості, спіраль Улама важлива тим, що її діагональні смуги відповідають багатим на прості квадратичним многочленам, — це реальна відкрита проблема теорії чисел.
Що таке числова спіраль?
Числова спіраль розкладає натуральні числа вздовж неперервного звивистого шляху й позначає, які з них прості. Оскільки прості підсвічуються на тлі темних складених, стають видимими вирівнювання та скупчення, яких ви ніколи б не помітили у звичайному пронумерованому списку.
Що таке спіраль Улама?
Спіраль Улама записує цілі числа на квадратній сітці, починаючи з центру й розкручуючись назовні кільце за кільцем. Коли прості числа зафарбовані, вони схильні вишиковуватися вздовж несподіваних діагональних смуг. Станіслав Улам помітив це у 1963 році, малюючи під час нудної лекції.
Як ця симуляція знаходить прості числа?
Вона використовує решето Ератосфена. Починаючи з 2, воно багаторазово позначає кожне кратне кожного простого як складене, тож після одного проходу кожне число до N позначене як просте чи ні. Це достатньо швидко, щоб миттєво опрацювати всі 20 000 чисел.
Спіраль Сакса розміщує кожне ціле число n на радіусі r = sqrt(n) і куті 2*pi*sqrt(n) у полярних координатах. Ключовий ефект у тому, що всі точні квадрати потрапляють на один промінь (додатну вісь x), а візерунки простих чисел постають як криві, а не прямі діагоналі сітки Улама.
Він розміщує кожне число на радіусі sqrt(n) і куті, що дорівнює n помножене на золотий кут, близько 137,508 градуса. Це те саме правило, якого дотримуються справжні голівки соняшника, утворюючи найщільніше пакування без проміжків. Тут прості числа просто зафарбовані, щоб накласти теорію чисел на природний візерунок філотаксису.
Золотий кут дорівнює 360 градусам, помноженим на (1 мінус 1/фі), де фі — золотий перетин, що дає приблизно 137,508 градуса. Оскільки фі — найбільш ірраціональне число, послідовні насінини ніколи не вишиковуються у спиці, тому це дає найрівномірніше пакування насінин, яке бачимо в соняшниках і соснових шишках.
Діагоналі в спіралі Улама відповідають квадратичним многочленам виду 4n у квадраті плюс bn плюс c. Деякі такі многочлени надзвичайно багаті на прості числа, тож їхні значення креслять яскраві лінії. Найвідоміший — многочлен Ейлера n у квадраті плюс n плюс 41, який дає просте число для кожного n від 0 до 39.
Тип спіралі перемикає між Уламом, Саксом, Фібоначчі й картою складених чисел. Числа (N) задають, скільки цілих чисел побудовано, від 100 до 20 000. Розмір комірки масштабує кожен квадрат Улама в пікселях. Кольорова схема перефарбовує прості за фіксованим відтінком, за сумою цифр чи за густиною множників, а Перемалювати чи Зберегти PNG перемальовує або експортує вигляд.
Цей режим ховає прості числа й натомість фарбує кожне складене за омега — його кількістю простих множників з урахуванням кратності. Числа з двома множниками отримують один відтінок, з трьома множниками — інший, і так далі, тож ви можете побачити текстуру того, як побудовані складені числа, а не де розташовані прості.
Воно реальне й статистично значуще, а не артефакт малювання. Цей візерунок відображає справжні упередження в тому, які квадратичні форми дають прості числа, і лишається поясненим лише частково. Гіпотеза F Гарді та Літлвуда дає передбачення для густини простих уздовж таких ліній, але повного доведення не існує.
Дивовижна математична візуалізація: прості числа утворюють несподівані діагональні лінії, якщо розмістити їх у спіраль Улама або сітку Саксу. Хаотичний, здавалося б, розподіл виявляє приховану структуру.
У спіралі Улама числа розміщені у формі квадратної спіралі. Прості числа утворюють відчутні діагональні лінії, що вказує на невипадкову структуру: деякі квадратичні форми ax² + bx + c дають надзвичайно багато простих.
Спостерігайте, як спіраль заповнюється і видно структуру простих чисел. Збільшуйте для деталей. Перемкніться між спіраллю Улама і сіткою Саксу. Увімкніть підсвічування простих чисел.
Улам намалював свою спіраль на засіданні у 1963 р. — мабуть від нудьги. Коли він побачив несподівані лінії, це стало важливою підказкою для теорії чисел. Пояснення цієї структури досі пов'язане з відкритими проблемами математики.