🌀 Спірограф — Гіпотрохоїди та Епітрохоїди
Малюйте красиві математичні криві рівняннями спірографа. Мале коло, що котиться всередині або зовні нерухомого кільця, малює складні симетричні візерунки. Досліджуйте цілі та дробові передавальні числа.
Малюйте красиві математичні криві рівняннями спірографа. Мале коло, що котиться всередині або зовні нерухомого кільця, малює складні симетричні візерунки. Досліджуйте цілі та дробові передавальні числа.
Цей інструмент малює спірограф — криву, яку креслить перо, закріплене всередині або ззовні малого кола, що котиться без проковзування навколо більшого нерухомого кільця. Кочення всередині дає гіпотрохоїду, а ззовні — епітрохоїду. Кожну точку обчислюють за параметричними рівняннями в міру зростання кута кочення, а симетрія готового візерунка повністю визначається відношенням зовнішнього радіуса R до внутрішнього радіуса r.
Коло радіусом r котиться всередині (гіпотрохоїда) або ззовні (епітрохоїда) нерухомого кільця радіусом R, а перо тримається на відстані d від центра рухомого кола. Точку будують за формулами x=(R−r)cos t+d·cos((R−r)/r·t) та y=(R−r)sin t−d·sin((R−r)/r·t), де у режимі епітрохоїди (R−r) замінюють на (R+r). Кількість пелюсток дорівнює R, поділеному на найбільший спільний дільник R і r.
Перемикайтеся між Гіпотрохоїдою та Епітрохоїдою або оберіть пресет, як-от Астроїда, 5-пелюсткова троянда чи Золотий перетин. Повзунки задають зовнішній радіус R, внутрішній радіус r, відстань пера d, швидкість малювання, товщину лінії та зсув відтінку, із живим показом типу кривої, пелюсток і обертів до замкнення. Кнопки очищують полотно, зберігають малюнок як PNG або запускають автоматичний цикл анімації.
Коли R і r не мають спільного дільника, крива не замкнеться, доки рухоме коло не зробить r повних обертів навколо кільця, що може дати сотні накладених петель, перш ніж візерунок нарешті повториться.
Крива спірографа — це траєкторія, яку креслить перо, прикріплене до малого кола, що котиться навколо більшого кола без проковзування. Якщо мале коло котиться по внутрішньому боці кільця, криву називають гіпотрохоїдою; якщо ж по зовнішньому — епітрохоїдою. Обидві є гладкими симетричними параметричними кривими.
R — це радіус нерухомого зовнішнього кільця, r — радіус рухомого кола, а d — відстань пера від центра цього рухомого кола. Зміна R і r змінює симетрію та кількість пелюсток, тоді як d керує тим, наскільки далеко сягає перо, переводячи криву від майже кола до виразних петлястих розеток.
Візерунок замикається лише після того, як рухоме коло зробить ціле число обертів, що визначається відношенням R до r. Коли R і r мають велике найменше спільне кратне або не мають спільного дільника, перо проходить багато обертів, перш ніж повернутися до початку, тож фігура багаторазово накладається сама на себе, перш ніж нарешті повториться.
Так. Вона будує точні параметричні рівняння трохоїди, а не наближення, тож кількість пелюсток, симетрія та поведінка замкнення прямо випливають з обраних вами радіусів. Показане число пелюсток використовує найбільший спільний дільник R і r, що відповідає справжній геометрії кривої, утвореної коченням кола.
Гіпотрохоїда креслиться, коли рухоме коло лишається з внутрішнього боку нерухомого кільця, даючи спрямовані всередину зіркоподібні чи розеткові форми. Епітрохоїда креслиться, коли коло котиться ззовні, утворюючи спрямовані назовні квіткоподібні петлі. У рівняннях це єдина зміна: член (R−r) стає (R+r), а знак косинусного члена змінюється.