Будуйте геодезичні куполи підрозділенням Платонових тіл на сферу. Досліджуйте частоти від 1v до 5v, перемикайте між ікосаедром, октаедром та тетраедром.
Геодезичний купол підрозділяє грань багатогранника на менші трикутники, спроектовані на сферу. Вищі частоти (2v–5v) дають більше трикутників і краще наближення до сфери. Формула F = f₀ × n² дає кількість граней.
Оберіть базовий багатогранник та частоту підрозділення. Перемикайте каркас/суцільний режим. Статистична панель показує кількість граней, вершин та ребер.
Бакмінстер Фуллер запатентував геодезичний купол у 1954 році. Молекула фулерену (C60) — «бакібол» — має таку ж геометрію, як частотно-1 зрізаний ікосаедр.
Ця симуляція будує геодезичні сфери та куполи, поділяючи платонове тіло й проєктуючи кожну нову вершину на одиничну сферу. Починаючи з ікосаедра, октаедра чи тетраедра, кожна трикутна грань ділиться на n² менших трикутників для обраної частоти n (від 1v до 5v). Результат наближає сферу з майже рівномірною тріангуляцією — визначальний принцип геодезичної геометрії Бакмінстера Фуллера.
Селектор «База» обирає вихідний многогранник, а повзунок «Частота» задає рівень поділу n. Кнопки «Сфера» та «Купол» показують усю поверхню або лише верхню половину, а «Каркас», «Тіло» та «Обидва» керують відображенням. Активна панель показує вершини, грані й ребра, підтверджуючи формулу Ейлера V − E + F = 2. Такі тріангульовані оболонки мають надзвичайне співвідношення міцності до ваги, що робить їх популярними для теплиць, планетаріїв та виставкових павільйонів.
Що таке геодезичний купол?
Геодезичний купол — це вигнута оболонка, побудована з мережі трикутників, розташованих на поверхні сфери (або поблизу неї). Він утворюється поділом граней многогранника та виштовхуванням нових точок назовні на сферу, тож навантаження рівномірно розподіляється між багатьма короткими тріангульованими стійками.
Що робить керування частотою?
Частота n задає, наскільки дрібно ділиться кожна базова грань: грань стає n² меншими трикутниками. Повзунок змінюється від 1v до 5v. Вищі частоти дають значно більше трикутників і гладше, округліше наближення справжньої сфери ціною більшої кількості вершин і ребер.
Як обчислюється кількість граней?
Загальна кількість трикутних граней дорівнює F = f₀ × n², де f₀ — кількість граней базового тіла: 20 для ікосаедра, 8 для октаедра та 4 для тетраедра. Рядок стану показує це безпосередньо, наприклад 20 × 3² = 180 трикутників для ікосаедра частоти 3v.
Ікосаедр має 20 рівносторонніх граней і є тим платоновим тілом, яке найкраще наближає сферу, тож його трикутники потребують найменшого спотворення під час проєктування. Це дає стійки рівномірнішої довжини, і саме тому майже всі реальні геодезичні куполи побудовані на основі ікосаедра, а не октаедра чи тетраедра.
Режим купола залишає лише трикутники, центроїд яких лежить у верхній частині сфери (Y ≥ −0,05), відкидаючи нижні грані. Потім малюються наземний диск і концентричні кільця, що зображують фундамент, тож ви бачите півсферичну оболонку, яка стоїть на основі, а не повну сферу, що ширяє.
Для будь-якого опуклого многогранника вершини, ребра й грані задовольняють V − E + F = 2. Панель обчислює F = f₀n², E = 3F/2 (оскільки кожен трикутник має три ребра, що спільні для двох граней) та V = F/2 + 2, а потім показує суму, щоб ви могли пересвідчитися, що вона завжди дорівнює 2.
Ні. Коли пласку грань поділяють і проєктують на сферу, стійки поблизу вихідних вершин розтягуються трохи більше, ніж ті, що поблизу центру грані. Інженери класифікують їх на невелику кількість різних довжин стійок, які називають хордовими коефіцієнтами, — це важлива інформація для реального виготовлення купола.
Молекула фулерену C₆₀, прозвана бакіболом, має форму зрізаного ікосаедра — той самий візерунок, що й футбольний м'яч, з 12 п'ятикутниками та 20 шестикутниками. Її назвали на честь Бакмінстера Фуллера, бо її замкнена тріангульована геодезична структура повторює його куполи.
Високе співвідношення міцності до ваги та ефективне використання матеріалів роблять їх ідеальними для планетаріїв, теплиць (наприклад, у проєкті Eden Project), радарних радомів, виставкових павільйонів та аварійних укриттів. Та сама геометрія також з'являється у віртуальних небесних куполах і сферичних масивах сенсорів.
Геометрія математично достовірна: положення вершин, кількість граней і проєкція на сферу обчислюються точно. Однак це візуальний та навчальний інструмент, а не пакет структурного аналізу — він не моделює напруження матеріалу, конструкцію з'єднань, вітрові навантаження чи хордові коефіцієнти, потрібні для будованого купола.