На кожному кроці частинка рухається в довільному напрямку. За мільйони кроків шлях виглядає як шум — але він підкоряється точним математичним законам: середнє зміщення зростає як квадратний корінь від часу — ознака дифузії всюди в природі.
Двовимірне випадкове блукання є дискретним аналогом броунівського руху (Ейнштейн, 1905). Середньоквадратичне зміщення ⟨r²⟩ = 4Dt лінійно зростає з часом, визначаючи коефіцієнт дифузії D. В 1D/2D блукач завжди повертається до початку; у 3D — тікає назавжди.
Запустіть кілька частинок та спостерігайте, як їхні шляхи розширюються. Перемикайтесь між режимами 2D гратка та вільне 2D. Жива гістограма показує радіальний розподіл, що збігається до гаусіана — кривої, передбаченої рівнянням дифузії.
Роберт Браун спостерігав тремтіння пилкових зерен у воді ще 1827 року. Пояснення Ейнштейна — зіткнення з невидимими молекулами — стало першим непрямим доказом існування атомів. Жан-Батист Перрен підтвердив це експериментально та здобув Нобелівську премію 1926 року.
Ця пісочниця запускає рій незалежних випадкових блукачів, кожен з яких робить послідовність кроків у випадкових напрямках на 2D-полотні. Вона порівнює три правила — вільне неперервне блукання, дискретне ґраткове блукання, обмежене чотирма напрямками сітки, і блукання з важкими хвостами — політ Леві — та відстежує живу статистику в міру того, як шляхи розповзаються. Мета — побачити, як із випадковості народжується порядок: середнє зміщення зростає пропорційно квадратному кореню з кількості кроків — універсальна ознака дифузії.
Кожен блукач щокадру оновлює свою позицію, додаючи крок. У режимі вільного 2D крок має фіксовану довжину під рівномірно випадковим кутом; ґратковий режим обирає один із чотирьох напрямків ±x/±y; режим Леві бере довжину кроку зі степеневого розподілу P(x) ~ x^(-1.5), тож рідкісні довгі стрибки домінують. Панель статистики показує кроки, середнє та максимальне зміщення, а також прогнозований закон √(кроків) × розмір кроку, ілюструючи дифузійне масштабування броунівського руху.
Оберіть режим кнопками 2D Walk, Lévy Flight або Lattice. Повзунок Walkers задає, скільки частинок рухається (1–200), Step керує довжиною кроку (1–10), а Trail задає, скільки минулих точок зберігає кожен шлях (0–100). Reset перезапускає всіх блукачів із центру. Краї полотна замкнені, тож блукачі з'являються знову з протилежного боку.
Випадковий блукач на 1D-прямій чи 2D-площині неодмінно колись повернеться у вихідну точку, але у трьох вимірах імовірність повернення падає приблизно до 34%. Цей результат, доведений Джорджем Поліа у 1921 році, часто формулюють так: «п'яний чоловік знайде дорогу додому, а п'яна пташка — можливо, ні».
Випадкове блукання — це шлях із послідовних кроків, напрямок (а іноді й довжина) яких обирається навмання. Попри те, що кожен крок непередбачуваний, сукупність шляхів підпорядковується точним статистичним законам. Це дискретна математична модель, що стоїть за броунівським рухом — тремтливим рухом частинок, завислих у рідині, який Ейнштейн пояснив у 1905 році.
Вільне 2D-блукання робить крок фіксованої довжини у будь-якому неперервному напрямку. Режим Lattice (ґратка) обмежує кожен крок одним із чотирьох напрямків сітки (вгору, вниз, ліворуч, праворуч), наче фішка на клітчастому папері. Політ Леві бере довжини кроків зі степеневого розподілу з важкими хвостами, тож більшість кроків короткі, але поодинокі дуже довгі стрибки змушують шлях розповзатися значно швидше, ніж за звичайної дифузії.
Для звичайної дифузії типова відстань, яку блукач проходить від старту, зростає як квадратний корінь із кількості кроків, а не лінійно з самими кроками. Панель статистики показує виміряне середнє зміщення поряд із √(кроків), помноженим на розмір кроку, тож ви бачите, як змодельовані блукачі дотримуються цього теоретичного передбачення, накопичуючи кроки.
Повзунок Walkers задає кількість одночасних частинок від 1 до 200, що робить статистичні середні плавнішими. Повзунок Step задає довжину кожного руху від 1 до 10 пікселів. Повзунок Trail задає, скільки попередніх позицій зберігається й малюється — від 0 (лише рухома крапка) до 100 точок історії на кожного блукача.
Польоти Леві з їхніми поодинокими довгими стрибками моделюють багато природних процесів пошуку й перенесення точніше, ніж проста дифузія. Тварини, що добувають їжу, як-от акули й альбатроси, поширення хвороб і навіть коливання фінансових ринків демонструють розподіли кроків із важкими хвостами, де рідкісні великі переміщення домінують у загальному зміщенні.