UK 
EnglishТипова
Polski📉 Логістичне відображення
Знаменита діаграма біфуркацій x→rx(1−x): стійка точка → період-2 → період-4 → хаос. Збільшуйте, щоб побачити самоподібну структуру Фейгенбаума, анімуйте павутинку та дивіться, як показник Ляпунова змінює знак.
Схожі симуляції
Про цю симуляцію
Ця симуляція ітерує логістичне відображення xn+1 = r·xn·(1−xn) — одне з найпростіших рівнянь, що породжує справжній хаос. Для кожного стовпчика діаграми біфуркацій вона проходить темп зростання r по всьому діапазону [0, 4], відкидає певну кількість перехідних ітерацій, а потім малює довгострокові значення x, на яких орбіта осідає, у вигляді зображення густини. Вигляд «павутинки» геометрично простежує ту саму ітерацію відносно параболи y = r·x·(1−x) і діагоналі y = x, а вигляд часового ряду малює xn крок за кроком. Фоновий цикл також оцінює період орбіти та її показник Ляпунова, щоб класифікувати поточний режим.
🔬 Що показано
Коли r перевищує 1, нерухома точка стає стійкою, після 3 вона розщеплюється на 2-цикл, а подальші подвоєння періоду (4, 8, 16…) накопичуються при r ≈ 3,5699 — початок хаосу. Далі діаграма біфуркацій заповнюється щільними хаотичними смугами, перерваними вузькими періодичними вікнами, найпомітніше з яких — вікно періоду-3 навколо r ≈ 3,828–3,857, куди наближує кнопка «Перейти до вікна періоду-3».
🎮 Як користуватися
Перемикайтеся між видами Біфуркація, Павутинка, Часовий ряд або Всі. Тягніть r (0–4), щоб рухатися крізь каскад, встановіть початкове x₀ (0,001–0,999) і налаштуйте кількість ітерацій на стовпчик та пропущені перехідні процеси, щоб обміняти деталізацію на швидкість рендерингу. На діаграмі біфуркацій можна тягнути прямокутник, щоб наблизити область і побачити повторення самоподібної структури Фейгенбаума; Скинути масштаб повертає до повного діапазону [0, 4], а Пауза заморожує анімацію павутинки.
💡 Чи знали ви?
Каскад подвоєння періоду в логістичному відображенні збігається з універсальною швидкістю, описаною сталою Фейгенбаума δ ≈ 4,6692, яка так само з'являється в незліченних інших хаотичних системах — рідкісний випадок дійсно універсального числа в нелінійній динаміці.
Часті запитання
Що таке рівняння логістичного відображення?
Це ітерація xn+1 = r·xn·(1−xn), де x — значення від 0 до 1 (часто моделює частку популяції), а r — параметр темпу зростання від 0 до 4. Попри свою простоту, повторне застосування цієї єдиної формули породжує все — від стійких рівноваг до періодичних циклів і повного хаосу — залежно лише від значення r.
Що саме малює діаграма біфуркацій?
Для кожного значення r на горизонтальній осі симуляція багато разів ітерує відображення, пропускає початковий ряд перехідних ітерацій, щоб орбіта осіла, а потім малює значення x, що вижили, як точки, складені вертикально. Там, де відображення осідає на одному значенні, ви бачите одну точку; де воно осідає в цикл — невелику кількість гілок; де воно хаотичне — щільну пляму, забарвлену за тим, як часто відвідується кожен піксель.
Чому хаос з'являється поблизу r ≈ 3,5699?
Коли r зростає понад 3, єдина стійка рівновага розщеплюється на 2-цикл, потім 4-цикл, потім 8-цикл і так далі — каскад подвоєння періоду. Значення r, де відбуваються ці розщеплення, наближаються одне до одного геометрично, і весь каскад накопичується при r ≈ 3,56995 — так званій точці Фейгенбаума. За її межами орбіта більше не осідає в жоден скінченний цикл, і динаміка стає хаотичною, хоча вузькі періодичні вікна (як-от період-3 біля r ≈ 3,83) все ще з'являються.
Що показує графік павутинки?
Вигляд павутинки малює параболу y = r·x·(1−x) разом із діагоналлю y = x, а потім простежує ітерацію крок за кроком: вертикальна лінія від xn вгору до параболи дає xn+1, а горизонтальна лінія до діагоналі переносить це значення назад на вісь x для наступного кроку. Спостереження за тим, як цей сходинкоподібний шлях осідає на точці, стрибає між кількома точками або блукає хаотично, візуально показує, чи дає поточне r стабільність, періодичність чи хаос.
Що повідомляє показник Ляпунова?
Показник Ляпунова λ вимірює, наскільки швидко дві близькі стартові точки розходяться (або сходяться) під час повторної ітерації відображення. Коли λ від'ємний, орбіта стійка або періодична, коли λ дуже близький до нуля, система перебуває на межі хаосу (часто саме в точці подвоєння періоду), а коли λ додатний, динаміка хаотична — крихітні відмінності в x₀ зростають експоненційно, що є ознакою чутливої залежності від початкових умов.