★★☆ Середній

🧮 Власні вектори та власні значення

Налаштуйте будь-яку матрицю 2×2 та побачте її власні вектори — особливі напрямки, які лінійне перетворення лише розтягує, але не обертає. Спостерігайте, як характеристичний многочлен розв'язує λ, одинична окружність деформується в еліпс, а власні вектори вирівнюються з його головними осями.

Образ î Образ ĵ Образ одиничної окружності Власний вектор λ₁ Власний вектор λ₂

📐 Матриця A

A[0,0] = a

2.0

A[0,1] = b

1.0

A[1,0] = c

0.0

A[1,1] = d

1.0

🎯 Пресети

λ Власні значення

λ₁ —

λ₂ —

v₁ = —

v₂ = —

📊 Властивості

слід:—

det:—

Δ =—

Характеристичний многочлен:
det(A − λI) = 0
λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0

Av = λv (v ≠ 0)
Власні вектори утворюють власний підпростір.
Для симетричної A: власні вектори ортогональні.

Ключові ідеї

Власні вектори — це вектори v, що задовольняють A v = λ v для скаляра λ (власного значення). Геометрично — це напрямки, які перетворення лише розтягує або перевертає, але не обертає. Кожна точка на зелено-фіолетових пунктирних лініях є власним вектором.

Характеристичний многочлен λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0 дає власні значення. Його дискримінант Δ = tr² − 4·det визначає тип: Δ > 0 → два різних дійсних власних значення; Δ = 0 → повторне; Δ < 0 → комплексні спряжені (чисте обертання не має дійсних власних векторів).

Жовтий еліпс — образ одиничної окружності під дією A. Його напіввісі — саме власні вектори, масштабовані на |λ|. Побачити всі симуляції з лінійної алгебри →