🧮 Власні вектори та власні значення
Налаштуйте будь-яку матрицю 2×2 та побачте її власні вектори — особливі напрямки, які лінійне перетворення лише розтягує, але не обертає. Спостерігайте, як характеристичний многочлен розв'язує λ, одинична окружність деформується в еліпс, а власні вектори вирівнюються з його головними осями.
📐 Матриця A
🎯 Пресети
λ Власні значення
📊 Властивості
det(A − λI) = 0
λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0
Av = λv (v ≠ 0)
Власні вектори утворюють власний підпростір.
Для симетричної A: власні вектори ортогональні.
Ключові ідеї
Власні вектори — це вектори
v, що задовольняють A v = λ v для
скаляра λ (власного значення). Геометрично — це напрямки, які
перетворення лише розтягує або перевертає, але не обертає.
Кожна точка на зелено-фіолетових пунктирних лініях є власним
вектором.
Характеристичний многочлен λ² − tr(A)·λ +
det(A) = 0 дає власні значення. Його дискримінант Δ = tr² −
4·det визначає тип: Δ > 0 → два різних дійсних власних значення;
Δ = 0 → повторне; Δ < 0 → комплексні спряжені (чисте обертання не
має дійсних власних векторів).
Жовтий еліпс — образ одиничної окружності під дією
A. Його напіввісі — саме власні вектори, масштабовані на |λ|.
Побачити всі симуляції з лінійної алгебри →
🧮 Власні вектори та власні значення
Про цю симуляцію
Кожна матриця 2×2 задає лінійне перетворення площини, а її власні вектори — це рідкісні напрямки, які перетворення лише розтягує або перевертає, але ніколи не обертає. Цей візуалізатор дозволяє змінювати чотири елементи матриці та миттєво бачити власні значення, лінії власних векторів і те, як одинична окружність перетворюється на еліпс. Спектральний аналіз лежить в основі алгоритму PageRank від Google, методу головних компонент (PCA), мод коливань в інженерії та квантової механіки, що робить його однією з найкорисніших ідей у всій математиці.
Як це працює
- Переміщуйте чотири слайдери a, b, c, d, щоб задати матрицю A.
- Характеристичний многочлен λ² − tr(A)λ + det(A) = 0 розв'язується для власних значень.
- Нуль-простір кожного власного значення (A − λI)v = 0 задає напрямок власного вектора, що малюється пунктирною лінією.
- Жовтий еліпс — образ одиничної окружності; його напіввісі вирівнюються з власними векторами, масштабованими на |λ|.
Ключові рівняння
A v = λ v — v це власний вектор, λ
його власне значення. Вони знаходяться з
det(A − λI) = 0, що розкривається у
λ² − tr(A)λ + det(A) = 0, де
tr(A) = a+d та det(A) = ad−bc.
Керування
- Слайдери a, b, c, d: задають кожен елемент матриці.
- Пресети: перехід до тотожної, масштабування, повороту, зсуву, симетричної, відбиття тощо.
- Анімувати перетворення: плавний перехід між вихідною та перетвореною сіткою.
- Скинути: повернутися до повністю перетвореного вигляду.
Чи знали ви?
Коли дискримінант tr² − 4·det від'ємний, власні значення стають комплексними спряженими — матриця обертає площину, тож не лишається жодного дійсного напрямку без повороту. Чисте обертання взагалі не має дійсних власних векторів.