Власні значення та власні вектори
Дивіться, як матриця 2×2 перетворює простір — власні вектори залишаються на своїй осі, а власні значення показують коефіцієнт розтягування
📐 Власні значення та власні вектори
Вектор v є власним вектором матриці
A, якщо перетворення лише масштабує його — не
обертає:
A·v = λ·v — де
скаляр λ — відповідне власне значення.
Для знаходження власних значень розв'язуємо
характеристичне рівняння:
det(A − λI) = 0 ⟹ λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0
звідси λ = (tr ± √(tr² − 4·det)) / 2
Геометрично: одинична окружність відображається в еліпс, напівосі якого спрямовані вздовж власних векторів, а їх довжини дорівнюють |λ|. Різні дійсні власні значення → розтягування вздовж двох осей. Комплексні → обертання + спіраль. Кратні → рівномірне масштабування або зсув.
Власні значення є основою аналізу головних компонент (ГКА), квантової механіки (рівні енергії), спектральної теорії графів та аналізу стійкості ОДУ.