Дивні атрактори
Дивний атрактор — це множина у фазовому просторі, до якої наближається хаотична система, але яку ніколи не повторює. Він має фрактальну розмірність — не поверхню (2D) і не об'єм (3D), а щось проміжне. Атрактор Лоренца має розмірність ≈ 2.06; більша частина фазового простору заборонена.
Атрактор Лоренца
Оригінальний метелик: ẋ=σ(y−x), ẏ=x(ρ−z)−y, ż=xy−βz. Налаштуйте σ, ρ, β і дивіться, як траєкторія малює двокрилий атрактор у 3D — дві близькі траєкторії експоненційно розходяться.
Атрактор Рьосслера
Простіша тризмінна хаотична система О. Е. Рьосслера — одна нелінійність (член xz) проти двох у Лоренца. Спостерігайте маршрут до хаосу через подвоєння періоду в міру зростання параметра c.
Циклічно симетричний атрактор Томаса
Атрактор Рене Томаса з трикратною симетрією: ẋ=sin(y)−bx, ẏ=sin(z)−by, ż=sin(x)−bz. Перехід між періодичним і хаотичним режимами в міру зменшення b через b≈0.208.
Осцилятор Ван дер Поля
ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0. Канонічний осцилятор із граничним циклом — налаштовується від майже гармонічного (μ≪1) до релаксаційного (μ≫1). Фазовий портрет і часовий ряд.
Система Лоренца — стандартні параметри
dx/dt = σ(y − x) [σ ≈ 10 → турбулентне число Прандтля]
dy/dt = x(ρ − z) − y [ρ ≈ 28 → нормалізоване число Релея]
dz/dt = xy − βz [β ≈ 8/3 → геометричний фактор]
Показник Ляпунова λ₁ ≈ +0.906 → час подвоєння ≈ 0.764 с
Розмірність атрактора D₂ ≈ 2.06 → "тонкий фрактал"
Біфуркації та подвоєння періоду
Біфуркація — якісна зміна динамічної системи, коли параметр перетинає поріг. Логістичне відображення x_{n+1} = rx_n(1−x_n) демонструє кожен відомий шлях до хаосу в одному рівнянні — каскади подвоєння періоду, переривчастість і вікна періодичності глибоко всередині хаотичного режиму.
Біфуркаційна діаграма
Повна біфуркаційна діаграма логістичного відображення — збільшуйте будь-яке вікно, щоб виявити самоподібні копії всієї структури. Стала Фейгенбаума δ ≈ 4.6692 вимірюється тут же.
Подвійний маятник
Два зв'язані маятники — інтегровні для малих кутів, хаотичні для великих. Запустіть дві траєкторії з різницею 0.001° і дивіться, як вони розходяться протягом секунд.
Візерунки Тюрінга та реакційно-дифузійні процеси
Стаття Алана Тюрінга 1952 року "The Chemical Basis of Morphogenesis" передбачила, що система з двох хімікатів — один активатор, один інгібітор, — що дифундують із різними швидкостями й реагують, спонтанно утворить просторові візерунки з однорідного стану. Ці візерунки Тюрінга з'являються на шкурах тварин, шкірі риб і забарвленні мушель.
Реакційно-дифузійна система (Грей-Скотт)
Двовидова модель Грея-Скотта: ∂u/∂t = Du∇²u − uv² + F(1−u), ∂v/∂t = Dv∇²v + uv² − (F+k)v. Налаштуйте швидкість подачі F і швидкість вилучення k, щоб дослідити плями, смуги й солітони.
Чутливість до початкових умов
Запустіть 20 близьких траєкторій Лоренца одночасно. Кольорові сліди розходяться експоненційно — візуалізуючи показник Ляпунова як хмару, що розширюється.
Стала Фейгенбаума δ ≈ 4.6692. У будь-якому шляху до хаосу через подвоєння періоду — логістичне відображення, відображення Ено, маятник з примусовим коливанням, крапаючий кран — відношення між послідовними інтервалами параметра біфуркації сходиться до однієї й тієї самої універсальної сталої. Мітчелл Фейгенбаум відкрив це 1975 року на програмованому калькуляторі. Це було першою демонстрацією того, що хаос має універсальну, кількісну структуру.