На відміну від простого маятника, що сповільнюється, осцилятор Ван дер Поля підтримує власні коливання: поглинає енергію при малій амплітуді і розсіює її при великій, виходячи на унікальний граничний цикл, незалежний від початкових умов.
Рівняння ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0 має нелінійний член демпфування. При μ = 0 це гармонічний осцилятор. З зростанням μ граничний цикл стає все більш несинусоїдним — «релаксаційні коливання», типові для серцевих кардіостимуляторів та електронних схем.
Спостерігайте фазовий портрет (позиція проти швидкості), що спіралізується до граничного циклу з будь-яких початкових умов. Збільшуйте μ для посилення нелінійності та спостерігайте, як хвиля набуває пилоподібну форму. При увімкненому зовнішньому форсуванні знайдіть зони Арнольда.
Бальтазар ван дер Поль відкрив цей осцилятор, вивчаючи радіосхеми з вакуумними трубками у 1920-х роках. Також він помітив, що за певних умов примусового впливу схема видавала «нерегулярний шум» — одне з перших спостережень детермінованого хаосу, за десятиліття до появи самого терміну.
Ця симуляція інтегрує рівняння Ван дер Поля ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0, переписане у вигляді системи першого порядку: ẋ = y, ẏ = μ(1−x²)y − x. Стан системи розвивається за схемою Рунге–Кутта четвертого порядку з фіксованим кроком 0,02. Ліва панель відображає фазовий портрет (x проти ẋ), а права — часовий ряд x(t), де видно, як будь-яка траєкторія сходиться до єдиного замкненого граничного циклу.
Повзунок μ (від 0 до 5) задає силу нелінійного демпфування; x₀ визначає початкове положення; Швидкість регулює кількість кроків інтегрування за кадр; кнопки Пауза, Скинути та Слід керують відтворенням і збереженням траєкторії. Ці самопідтримні коливання моделюють реальні системи — радіосхеми з вакуумними трубками, ритми серцевих кардіостимуляторів і нейронний спайкінг, де енергія закачується при малій амплітуді і відводиться при великій.
Що таке осцилятор Ван дер Поля?
Це нелінійний осцилятор, описаний рівнянням ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0, яке спочатку вивів Бальтазар ван дер Поль для моделювання електронних схем з вакуумними трубками. Його головна особливість — член демпфування, що залежить від амплітуди: завдяки цьому система підтримує стабільні самогенеровані коливання, не затухаючи і не зростаючи безмежно.
Що таке граничний цикл?
Граничний цикл — це ізольована замкнена крива на фазовій площині, до якої з часом спіралізуються сусідні траєкторії. У цій симуляції незалежно від початкового положення траєкторія сходиться до однієї й тієї ж петлі, тому довготривала амплітуда та форма хвилі визначаються самим рівнянням, а не початковими умовами.
Що робить повзунок μ (демпфування)?
Параметр μ масштабує нелінійний член демпфування μ(1−x²)ẋ. При μ ≈ 0 рух майже схожий на плавну синусоїду гармонічного осцилятора. Зі зростанням μ до 5 граничний цикл деформується в гострі релаксаційні коливання пилоподібної форми з різкими стрибками, розділеними повільним дрейфом.
Коефіцієнт демпфування μ(1−x²) змінює знак залежно від амплітуди. При малих |x| він від'ємний — додає енергію і виштовхує систему назовні; при великих |x| стає додатним — відводить енергію. Цей баланс забезпечує стабільні самопідтримні коливання замість поступового затухання до стану спокою.
Ліва панель — фазовий портрет: по горизонтальній осі відкладається положення x, по вертикальній — швидкість ẋ, тому одне коливання утворює замкнену петлю. Права панель — часовий ряд x(t): той самий рух у вигляді хвилі, що розгортається в часі, — тут добре видно, як змінюється форма сигналу.
Сторінка використовує класичний метод Рунге–Кутта четвертого порядку (RK4) з фіксованим кроком 0,02. RK4 обчислює нахил у чотирьох точках усередині кожного кроку та комбінує їх зваженим середнім, що забезпечує високу точність і гарну стійкість для цієї гладкої детерміністичної системи.
Повзунок x₀ задає лише початкове положення (початкова швидкість дорівнює нулю). Оскільки граничний цикл є глобально притягальним, різні стартові точки сходяться до тієї ж самої петлі. Переконайтеся самі: скиньте симуляцію з різними значеннями x₀ і поспостерігайте, як кожна траєкторія спіралізується до ідентичного циклу.
При великих μ рух поділяється на два різні часові масштаби: тривалі повільні фази, де x повільно дрейфує, що перемежовуються різкими стрибками. Цей режим «повільно-швидко» називається релаксаційними коливаннями, а форма хвилі більше нагадує пилку, ніж синусоїду.
Так, у межах чисельного інтегрування. Метод RK4 відтворює справжню динаміку Ван дер Поля з високою точністю, включно з правильною амплітудою граничного циклу та переходом до релаксаційної поведінки зі зростанням μ. Незначне округлення через фіксований крок 0,02 не впливає на якісну картину, що спостерігається.
Вона описує самоколивні системи в різних галузях: тріодні та вакуумно-трубкові радіосхеми, в яких виникла вперше; ритмічне збудження клітин серцевого кардіостимулятора; моделі нейронного спайкінгу; деякі механічні та акустичні системи. Це стандартний підручниковий приклад самопідтримних коливань у теорії динамічних систем.