Це модель реакції-дифузії Грея-Скотта: дві уявні речовини, A і B, розповзаються (дифундують) і реагують одна з одною, і з цієї простої взаємодії самі собою народжуються складні візерунки — плями, смуги, лабіринти, спіралі та самовідтворювані краплі. Та сама математика, як вважають, формує забарвлення шкіри тварин, пігмент мушель і навіть розташування пальців у зародка, тому вона є наріжним каменем математичної біології. Вона заворожує саме тим, що порядок виникає з нічого, окрім локальних правил і дрібки випадковості.
∂A/∂t = Da·∇²A − A·B² + f·(1 − A) та
∂B/∂t = Db·∇²B + A·B² − (f + k)·B — тут A і B — це
концентрації речовин, ∇² — оператор Лапласа (дифузія), Da і Db —
швидкості дифузії, f — швидкість подачі, k — швидкість вилучення.
Алан Тюрінг передбачив ці візерунки у своїй праці 1952 року «Хімічна основа морфогенезу» — задовго до того, як комп'ютери змогли їх намалювати, — а у 2012 році біологи підтвердили, що тюрінгоподібна хімія справді задає розташування пальців у лапах мишей.
Ця симуляція виконує систему реакції-дифузії Грея-Скотта на сітці 256 на 256, обчислювану повністю на GPU у вигляді фрагментних шейдерів WebGL. Дві віртуальні речовини, A та B, дифундують по сітці й реагують за схемою A + 2B у 3B. Динаміка підпорядковується зв'язаним рівнянням dA/dt = Da*lap(A) - A*B*B + f*(1-A) та dB/dt = Db*lap(B) + A*B*B - (k+f)*B, де лапласіан обчислюється за допомогою зваженого дев'ятиточкового шаблону, а B дифундує вдвічі повільніше за A.
Повзунок швидкості подачі (f, від 0.01 до 0.1) задає, наскільки швидко поповнюється речовина A, тоді як повзунок швидкості видалення (k, від 0.04 до 0.075) задає, наскільки швидко видаляється B; разом вони визначають, чи виникнуть плями, смуги, лабіринти або самовідтворювані краплі. Регулятор Швидкість задає кількість кроків симуляції на кадр (від 1 до 20), пресети переходять до відомих комбінацій f/k, а клацання чи перетягування впорскує речовину B. Та сама самоорганізаційна математика, як вважають, лежить в основі візерунків на шкурі тварин, пігментації мушель та розташування пальців у ембріонів, що робить її наріжним каменем математичної біології.
Що таке модель реакції-дифузії Грея-Скотта?
Це математична модель двох речовин, A та B, які поширюються й реагують одна з одною. З цих простих локальних правил по сітці самоорганізуються складні візерунки, зокрема плями, смуги, лабіринти та спіралі. Це класичний приклад візерунка Тюрінга, де порядок виникає спонтанно з дифузії та реакції.
Як саме симуляція обчислює візерунки?
Екран - це сітка 256 на 256, де кожна клітинка зберігає концентрації A та B всередині float-текстури WebGL. Фрагментний шейдер оновлює кожну клітинку паралельно на кожному кроці, використовуючи пінг-понг пару цілей рендерингу. Повзунок Швидкість виконує від 1 до 20 таких кроків на кадр анімації, тож візерунок еволюціонує швидко.
Що роблять повзунки швидкості подачі та швидкості видалення?
Швидкість подачі f керує тим, наскільки швидко речовина A поповнюється в кожну клітинку, а швидкість видалення k керує тим, наскільки швидко видаляється речовина B. Разом ці два числа визначають, яке сімейство візерунків утворюється. Невеликі зміни можуть перевести систему від сталих плям до зростаючих смуг чи блукаючих лабіринтів.
Яке рівняння лежить в основі?
Два зв'язані диференціальні рівняння у частинних похідних: dA/dt = Da*lap(A) - A*B*B + f*(1-A) та dB/dt = Db*lap(B) + A*B*B - (k+f)*B. Тут lap - це лапласіан, що представляє дифузію, Da та Db - швидкості дифузії, а член A*B*B - автокаталітична реакція A + 2B у 3B. У цій симуляції Da дорівнює 1.0, а Db дорівнює 0.5.
Контраст у швидкостях дифузії є істотним. Тут A поширюється зі швидкістю 1.0, тоді як B - зі швидкістю 0.5, тож активатор B залишається локально сконцентрованим, поки субстрат A поповнює оточення. Ця короткодіюча активація в парі з далекодіючим інгібуванням - саме та умова, яку визначив Тюрінг для формування стабільних візерунків, а не їх розмивання у однорідну суміш.
Кожен пресет завантажує відому пару значень f та k і повторно засіває сітку. Пресети: Корал (f 0.0545, k 0.062), Мітоз (f 0.0367, k 0.0649), Плями/Черв'яки (f 0.030, k 0.062) та Лабіринт (f 0.029, k 0.057). Це зручні відправні точки, оскільки тип візерунка вкрай чутливий до невеликих змін параметрів.
Клацання чи перетягування по полотну впорскує додаткову речовину B у місці курсора, дозволяючи малювати новий ріст вручну. Кнопка Скинути сітку повторно засіває A=1 та B=0 з кількома випадковими квадратиками B біля центру. Додати зерно скидає свіжу випадкову краплю, а кнопка паузи заморожує еволюцію, тож ви можете вивчати застиглий візерунок.
Вона достеменно розв'язує рівняння Грея-Скотта за допомогою явного кроку за часом та дев'ятиточкового лапласіана, тож якісні сімейства візерунків є коректними. Однак це ідеалізована безрозмірна модель, а не підгонка до якоїсь конкретної реальної хімічної реакції, і сітка замикається по краях. Це інструмент для навчання та дослідження, а не кількісний хімічний прогнозувач.
У певних областях f та k пляма B зростає, доки не стане нестабільною, а потім розщеплюється надвоє, імітуючи поділ клітин. В інших областях член видалення переважує продукування, і B згасає до нуля, залишаючи порожнє поле. Ці поведінки виникають суто з балансу між автокаталітичною реакцією A*B*B та членами подачі й видалення.
Математика реакції-дифузії, як вважають, формує візерунки на шкурі тварин, як-от плями леопарда та смуги зебри, пігментацію мушель, а також розташування пальців рук і ніг у ембріонів, що розвиваються. Алан Тюрінг запропонував цю ідею у своїй праці 1952 року про морфогенез, а в 2012 році біологи підтвердили, що тюрінгоподібна хімія визначає розташування пальців у лапах мишей.
Шейдер засіву розміщує кілька квадратиків речовини B у трохи рандомізованих позиціях біля центру за допомогою геш-функції. Оскільки система вкрай чутлива до початкових умов, ці малі випадкові зерна виростають у різні, але статистично подібні розташування при кожному запуску, тоді як загальне сімейство візерунків залишається зафіксованим значеннями f та k.
Симуляція моделі Грея-Скотта: дві хімічні речовини реагують і дифундують, утворюючи складні органічні візерунки — смуги зебри, плями леопарда, спіралі та лабіринтні структури.
Дві речовини U і V взаємодіють: V перетворює U у себе (автокаталітично), а «джерело» підживлює U і видаляє V. При різних швидкостях реакції та дифузії виникають стабільні просторові патерни — так звані структури Тюрінга.
Регулюйте параметри подачі F і вилучення k, щоб переходити між режимами: точки, смуги, лабіринти, хвилі, хаос. Клацайте, щоб вводити нові зони реакції.
Алан Тьюрінг запропонував у 1952 р., що реакційно-дифузійні рівняння пояснюють тваринні смуги та плями. Молекулярна основа смуг зебри (ген Alx3) була встановлена лише у 2019 р. — підтвердивши теорію Тюрінга через 67 років.