Девлог #45 — Хвиля 25: лінійна алгебра, топологія та…

Статистика платформи

352Симуляцій

75Категорій

134Дописів блогу

25Хвиль

45Девлогів

Симуляції хвилі 25 коротко

Ця хвиля консолідує п'ять математично насичених симуляцій, які вже були готові в репозиторії, але ще не інтегровані в реєстр платформи чи перекладені. Усі п'ять тепер повністю двомовні (EN + UK), зареєстровані в індексі симуляцій і присутні в мапі сайту.

Власні вектори та власні значення — лінійна алгебра, ★★★
Рівняння Нернста — фізична хімія, ★★☆
Візуалізатор PCA та SVD — машинне навчання / статистика, ★★☆
Відносна одночасність — спеціальна теорія відносності, ★★☆
Дослідник тора й роду поверхні — топологія, ★★★

Нова симуляція: власні вектори та власні значення

🧮 Візуалізатор власних векторів і власних значень

Інтерактивний Canvas 2D-візуалізатор для дійсних матриць 2×2. Симуляція малює одиничне коло, його образ під лінійним відображенням T(x) = Ax, і два дійсні власні вектори як накладені стрілки. Точка, яку можна перетягувати по одиничному колу, показує, як перетворюється будь-який довільний вектор, роблячи інтуїцію «розтягування вздовж власних векторів» одразу наочною.

Фізика та математика

Av = λv (рівняння власних значень) det(A - λI) = 0 (характеристичний многочлен) Для 2\times2: λ² - tr(A)λ + det(A) = 0 Spec(A) = {λ\subset1;, λ\subset2;}; слід = λ\subset1; + λ\subset2;, det = λ\subset1;λ\subset2;

Повзунки керують елементами a, b, c, d матриці 2×2. Власні значення обчислюються аналітично за квадратичною формулою; коли дискримінант від'ємний, дисплей показує «комплексні / немає дійсних власних векторів» і виділяє компонент обертання. Інформаційна панель показує визначник, слід і геометричну інтерпретацію (розкладання обертання та розтягування).

Canvas 2D Лінійна алгебра Власні значення Матричне перетворення

Нова симуляція: рівняння Нернста

⚡ Рівняння Нернста — потенціал гальванічного елемента

Анімований візуалізатор електрохімічного елемента. Оберіть одну з шести поширених пар електродів (Zn/Cu елемент Даніеля, Fe/Cu, Ag/Zn, Ni/Cu, Pb/Cu, H2/Cu SHE), потім налаштуйте температуру й концентрації іонів («червоний» та «синій» розчини в двох напівелементах), щоб спостерігати, як потенціал елемента відхиляється від стандартного значення E° згідно з рівнянням Нернста.

Фізика та математика

E = E° - (RT / nF) ln Q Q = [окиснена форма] n / [відновлена форма] n При 298 K: E = E° - (0.05916/n) log Q ΔG = -nFE = -RT ln K

Полотно показує анімовану схему елемента Даніеля: відсік анода зліва (позначений як окиснення), катод справа (відновлення), сольовий місток, що їх з'єднує, електронний струм через зовнішній провід та кольорові частинки катіонів і аніонів, що дрейфують у правильних напрямках у міру розряду елемента. Живий зчитувач показує E (В), ΔG (кДж/моль) та Q.

Canvas 2D Електрохімія Енергія Гіббса Рівняння Нернста

Нова симуляція: візуалізатор PCA та SVD

📊 Візуалізатор PCA та SVD

Інтерактивний інструмент точкової діаграми для дослідження методу головних компонент (PCA). Клацайте, щоб розмістити 2D точки даних на полотні, або згенеруйте один з кількох вбудованих наборів даних (лінійний, круговий, «пляма», «банан»). Інструмент обчислює емпіричну матрицю коваріації, розв'язує власні вектори через замкнену форму 2×2 і малює головні компоненти як стрілки, масштабовані відповідно до їхніх власних значень. Друга вкладка показує матрицю коваріації 2×2 як кольорову теплову карту.

Фізика та математика

X̃ = X - μ (центрування за середнім) C = X̃²⁄\subsetT / (n-1) (матриця коваріації) C = VΛV\supsetT (власне розкладання) PCA \equiv усічене SVD: X = UΣV\supsetT Пояснена дисперсія: λ\subsetk; / Σ\subseti; λ\subseti;

Візуалізатор показує власні вектори як стрілки, панель поясненої дисперсії (відсоток, охоплений PC1 та PC2), проєкцію точок на PC1, а також опційно еліпс густини (1σ та 2σ). Вкладка коваріації показує числову матрицю поряд з детермінованою кольоровою шкалою: додатні елементи — синім, від'ємні — червоним.

Canvas 2D PCA SVD Машинне навчання Коваріація

Нова симуляція: відносна одночасність

⏱️ Відносна одночасність — уявний експеримент Ейнштейна з потягом

Анімація з двома системами відліку для уявного експерименту Ейнштейна 1905 року з потягом і блискавками. Два полотна працюють паралельно: верхнє показує систему відліку платформи S, де обидва удари блискавки відбуваються одночасно; нижнє показує систему відліку потяга S′, де передній удар стається першим. Змінюйте β = v/c від 0.10 до 0.95; лоренц-перетворені моменти спалахів оновлюються в реальному часі.

Фізика та математика

t' = γ(t - vx/c²), x' = γ(x - vt) γ = 1/\sqrt(1-β²) (фактор Лоренца) Δt' = -γvΔx/c² \neq 0 для просторовоподібного Δx L' = L/γ (лоренцове скорочення)

Світлові імпульси розширюються зі швидкістю c = 1 в обох системах відліку; сфери, що розширюються, зображено як пунктирні вертикальні відрізки з центром у точці спалаху. Панель показує γ, скорочений завдовжки розмір потяга L′/L, розрив одночасності Δt′ та трансформовані моменти спалахів t′_rear і t′_front. Чотири кнопки з попередньо заданими β охоплюють повільний, напів-c, швидкий та близький до c режими.

Canvas 2D Спеціальна теорія відносності Перетворення Лоренца Одночасність

Нова симуляція: дослідник тора й роду поверхні

📐 Дослідник тора й роду поверхні

Інтерактивний 3D-дослідник топології на Three.js r160. Оберіть рід g = 0 (сфера), 1 (тор), 2 (подвійний тор) або 3 (потрійний тор), щоб побачити поверхню, відтворену в опційних режимах суцільного вигляду, каркаса та карти нормалей. Перетягуйте, щоб обертати; прокручуйте, щоб масштабувати. Панель оновлює ейлерову характеристику χ = 2 − 2g, слово фундаментального многокутника, кількість ручок та π₁ для кожної поверхні.

Фізика та математика

χ = V - E + F = 2 - 2g (ейлерова характеристика) \int\int_M K dA = 2πχ (теорема Гаусса-Бонне) π 1 (S²) = 1, π 1 (T²) = ℤ \times ℤ Група поверхні: ⟨a 1,b 1,...,a g,b g | [a 1,b 1]\cdot\cdot\cdot[a g,b g] = 1⟩

Подвійний і потрійний тори відтворені як два або три зміщені меші TorusGeometry — візуальне наближення справжньої зв'язаної суми, достатнє, щоб передати кількість ручок. Примітка про теорему Гаусса–Бонне оновлюється для кожної поверхні: сфера (K = 1/R², інтеграл = 4π), тор (додатна зовнішня частина та від'ємна внутрішня скасовують одна одну до 0) та вищий рід g (інтеграл −4(g−1)π).

Three.js r160 Топологія Ейлерова характеристика Гаусс-Бонне Фундаментальна група

Українська локалізація — хвиля 25

Усі п'ять симуляцій хвилі 25, а також дві симуляції хвилі 24 («Гравітаційні хвилі — чірп-сигнал» і «Хімічна рівновага»), яким бракувало українських сторінок, отримали повні переклади UK у цьому оновленні. Це доводить загальну кількість нових двомовних симуляцій у цьому релізному циклі до семи.

Кожна українська сторінка дотримується стандартного шаблону: lang="uk", перехресні посилання hreflang, українська навігація (Головна / Категорії / Блог / Про нас), хлібна крихта категорії, значок складності українською та переклад усіх підписів на полотні симуляції, тексту кнопок і показників. Код фізики симуляції зберігається без змін (замінюються лише рядки, видимі користувачу).

Інженерні нотатки

Власні вектори

Власні значення розв'язуються аналітично: λ = (tr ± √(tr² − 4det)) / 2. Коли дискримінант Δ < 0, поверхня показує повідомлення «комплексні власні значення» і перемикається на відображення лише обертання. Власні вектори нормалізуються перед малюванням; довжина стрілки пропорційна |λ|, обмежена двома одиницями canvas. Одиничне коло вибірковано в 200 точках; кожна точка перетворюється матрицею A і малюється як образ-еліпс контрастним кольором.

Рівняння Нернста

Шість стандартних пар електродів попередньо завантажені з літературними значеннями E°. Q обчислюється як [ox]⊃n / [red]⊃n, де n — кількість перенесених електронів для цієї пари. Анімація частинок іонів використовує простий крок «жаб'ячого стрибка»: катіони дрейфують до негативного електрода, аніони — у протилежному напрямку, зі швидкостями, пропорційними Q − 1 (рушійна сила). Сольовий місток пропускає повільний зустрічний іонний струм, щоб зробити наочним баланс заряду.

Візуалізатор PCA

Матриця коваріації C обчислюється онлайн у міру розміщення нових точок. Власні значення й власні вектори розв'язуються через замкнену форму 2×2 (без потреби в ітерації). Лінія проєкції PC1 малюється як лінія регресії через центроїд у напрямку домінантного власного вектора. Панель поясненої дисперсії анімована CSS-переходом при зміні ширини, забезпечуючи плавний зворотний зв'язок при зміні розподілу набору даних.

Відносна одночасність

Час симуляції вимірюється в натуральних одиницях, де c = 1, а власна довжина потяга L = 1. Події спалаху в системі відліку платформи зафіксовані в (t = 0, x = ±L_c/2), де L_c = L/γ — лоренц-скорочена довжина. Події спалаху аналітично трансформуються в S′; світлові конуси розширюються як r(t) = c(t − t_fire) у кожній системі відліку. Повзунок швидкості анімації масштабує d(t_sim)/dt незалежно від фізики, тож можливе дослідження режиму, близького до c, у сповільненому вигляді.

Тор і рід поверхні

Сфера (g = 0) використовує THREE.SphereGeometry(1.5, 48, 32). Одиночний тор (g = 1) використовує TorusGeometry(1.1, 0.42, 32, 64). Подвійний і потрійний тори будуються з двох або трьох зміщених торів з масштабованими радіусами, які знищуються й перебудовуються щоразу при зміні роду, щоб уникнути витоків пам'яті GPU. MeshPhongMaterial напівпрозорий (прозорість 0.75), коли активне накладення каркаса, роблячи внутрішню топологію видимою. Коефіцієнт демпфування OrbitControls у 0.07 дає приємне інерційне відчуття.

Що далі: хвиля 26

Хвиля 26 спрямована на фізику плазми, квантові обчислення та екологію. Заплановані симуляції:

Магнітне утримання токамака — тороїдальне й полоїдальне поле, дрейфові траєкторії, критерії МГД-стійкості.
Візуалізатор квантової схеми — однокубітні гейти на сфері Блоха, заплутування CNOT, стани Белла та колапс вимірювання.
Екосистема Лотки–Вольтерри — коливання хижак–жертва, аналіз стійкості за Якобіаном, багатовидові взаємодії.
Дебаївське екранування — довжина екранування плазми, профіль потенціалу Юкави, коливання плазмової частоти.

Заплановані дописи блогу: Прожектор #46 про фізику плазми та МГД; Навчання #35 про квантові обчислення та квантову теорію інформації.