📐 Тор і Рід Поверхні
Порівняйте замкнені орієнтовані поверхні з родом g = 0–3. Обертайте 3D модель, вмикайте каркасну сітку та спостерігайте за оновленням характеристики Ейлера χ = 2−2g. Перетягуйте для обертання — прокручуйте для масштабування.
Поверхня (рід g)
Відображення
Гаусс-Бонне
Для сфери: K=1/R², ∫KdA=4π=2π·2
замкнена орієнтована поверхня:
χ = 2 − 2g
g = # ручок / отворів
Топологія поверхонь
Характеристика Ейлера
Для будь-якого симпліціального комплексу: χ = V − E + F. Для замкненої орієнтованої поверхні роду g: χ = 2 − 2g. Сфера має χ = 2 (без ручок), тор — χ = 0 (одна ручка), подвійний тор — χ = −2 і так далі. Характеристика Ейлера є топологічним інваріантом — вона не змінюється при неперервних деформаціях (гомеоморфізмах) поверхні.
Теорема Гаусса-Бонне
Теорема Гаусса-Бонне пов'язує геометрію з топологією: ∬_M K dA + ∮_∂M κ_g ds = 2πχ(M). Для замкненої поверхні (без межі): ∬ K dA = 2πχ. Для сфери радіуса R криволінійність K = 1/R² скрізь, і ∬ K dA = 4π = 2π · 2 = 2πχ. На торі є ділянки з додатною і від'ємною гауссовою кривизною, що інтегруються рівно до нуля.
Основна група π₁
Основна група класифікує петлі в просторі з точністю до неперервної деформації. Для сфери π₁(S²) тривіальна (кожна петля стискається). Для тора T² π₁ = ℤ × ℤ, породжується меридіаном і поздовжньою. Для поверхні роду g π₁ породжується 2g петлями з єдиним співвідношенням a₁b₁a₁⁻¹b₁⁻¹···a_g b_g a_g⁻¹b_g⁻¹ = 1 (поверхнева група).
Теорема класифікації
Кожна замкнена орієнтована поверхня гомеоморфна або сфері, або зв'язній сумі торів T² # T² # ··· (g копій). Це повністю класифікує їх за родом. Додавання ручки збільшує рід на 1 (χ зменшується на 2). Неорієнтовані поверхні (RP², пляшка Кляйна) класифікуються окремо. Поверхні Рімана в комплексному аналізі — це саме такі гладкі орієнтовані поверхні, оснащені комплексною структурою.