📊 PCA & SVD Візуалізатор
Генеруйте 2D хмару точок, перетягуйте окремі точки або регулюйте слайдери коваріацій. Симуляція обчислює матрицю коваріацій, знаходить власні вектори в реальному часі та малює осі головних компонент відповідно до стандартного відхилення. Стовпчиковий графік показує пояснену дисперсію по кожному компоненту.
Набір даних
Відображення
Пояснена дисперсія
Матриця коваріацій
⎣ ⎦
C v = λ v (власне)
EVR = λₖ / Σλⱼ
Клацніть холст, щоб додати точку
Про PCA та SVD
Аналіз головних компонент
PCA знаходить ортогональні напрямки максимальної дисперсії у наборі даних. Для n точок у d вимірах (нульове середнє) матриця коваріацій C = XᵀX/(n−1) є симетричною і діагоналізованою: C = Q Λ Qᵀ, де стовпці Q — власні вектори (головні компоненти), Λ = diag(λ₁,…,λ_d) з λ₁ ≥ λ₂ ≥ … Проекція на перші k стовпців Q знижує розмірність, зберігаючи найбільшу дисперсію.
Сингулярний розклад (SVD)
Будь-яка матриця m×n M = U Σ Vᵀ, де U та V — ортогональні, Σ — діагональна з невід'ємними сингулярними значеннями σ₁ ≥ σ₂ ≥ … PCA дорівнює SVD від X/√(n−1): головні компоненти — стовпці V, сингулярні значення пов'язані з власними числами: σₖ = √((n−1) λₖ). SVD чисельно стабільніший, ніж пряме розкладання C.
Геометрична інтерпретація
У 2D PCA знаходить велику вісь еліпса даних (PC1 — напрямок максимального розкиду) та малу вісь (PC2 — перпендикулярно). Відношення σ₁/σ₂ дорівнює відношенню напівосей. Частка поясненої дисперсії EVR₁ = λ₁/(λ₁+λ₂) — це частка загального розкиду, захоплена PC1. Для сферичних некорельованих даних EVR₁ = 50%; для витягнутого еліпса EVR₁ → 100%.
Застосування
PCA та SVD — основні інструменти науки про дані: стиснення зображень (усічений SVD), розпізнавання облич (eigenfaces), геноміка (структура популяцій), фінанси (факторні моделі), спектроскопія та зниження розмірності перед кластеризацією. У квантовій механіці зведена матриця густини для бічастинкової системи діагоналізується через розклад Шмідта — квантовий аналог SVD.