Хвилі у напіврідких матеріалах: коли дифузія перетворюється на поширення

Не зовсім тверда речовина і не зовсім рідина

Ідеальний еластичний твердий тіло зберігає механічну енергію та повертає її - увісніть дзвін і він зазвенить. Ідеальна в'язка рідина розсіює механічну енергію як тепло - перемішайте мед, і рух просто зупиниться. Більшість реальних матеріалів, від біологічних тканин до полімерів та мантії Землі протягом геологічних масштабів часу, роблять обидва водночас: вони є велюстоеластичними. Яка поведінка домінує в даній ситуації не є фіксованою властивістю матеріалу, а залежить від того, наскільки швидко ви досліджуєте матеріал, і саме цей часовий характер робить велюстоеластичну хвильову передачу складнішою та дивнішою, ніж звичайне еластичне хвильове поширення.

Модель Максуела: пружина та шток у серізі

Найпростіший математичний опис, який захоплює як миттєву еластичну реакцію, так і довготривалий в’язкий потік, це модель Максуела: пружина із жорсткістю G у серії з в’язким шток із в’язкістю eta. Раптова напруга спочатку несе повністю пружина (еластична реакція), але під постійною напругою шток повільно розширюється, і напруга розслаблюється до нуля (в’язкий потік) - справжній твердий матеріал, який перебуває під постійним деформуванням, поступово втрачаючи опір, що точно відповідає релаксації напруги в полімерах і породах.

Maxwell model:  spring (modulus G) + dashpot (viscosity eta), in SERIES
relaxation time:      tau = eta / G
stress under constant strain:   sigma(t) = sigma_0 * exp(-t / tau)     // exponential stress relaxation
complex modulus:      G*(omega) = G * (i*omega*tau) / (1 + i*omega*tau)

Частота перекреснення: де відбувається поширення хвиль, а не дифузія

Найважливішою величиною в моделі є релаксаційний час, τ = η / G або, еквівалентно, його обернена, кутова частота перекреснення ω_c = G / η. Це межа між двома якісно різними типами поведінки хвиль у тій самій речовині:

ω > ω_c (швидке впливання, час масштабування відносно τ є коротким): амортизатор не має часу рухатися → матеріал поводиться ЕЛАСТИЧНО → збудження ПОШИРЮЮТЬСЯ як хвиля з меншими втратами Це пояснює, чому один і той самий шматок матеріалу може здаватися твердим або рідким лише в залежності від того, наскільки швидко ви його вдарите - відомий трюк із силіконовою «розбивною гумкою», яка поводиться як жорстка губка, коли її кидають (швидке впливання, вище ω_c), але тече та утворює лужини, якщо вона залишається стояти сама по собі (повільне впливання, нижче ω_c). Комплексна модуля величина G*(ω) формалізує це: її дійсна частина (зберігаюча модуля) відстежує зберігання енергії еластичності та домінує на високих частотах, а її уявна частина (втратна модуль) відстежує в’язке розсідання та домінує на низьких частотах, і обидві перетинаються точно при ω = ω_c.

omega << omega_c  (slow forcing, long timescale relative to tau):
    the dashpot has time to relax -> material behaves VISCOUS -> disturbances DIFFUSE, heavily damped, no clean wavefront

omega >> omega_c  (fast forcing, short timescale relative to tau):
    the dashpot has no time to move -> material behaves ELASTIC -> disturbances PROPAGATE as a wave with much less attenuation

За межами найпростішого моделювання

Надзвичайно проста Максулова модель має відому недоліковість: вона передбачає, що матеріал тече необмежено під будь-яке стабільно постійне навантаження, що є нереальним для справжнього твердого тіла. Модель Кельвіна-Воigtsa (паралельна пружина та демпфер замість серії) усуває це за рахунок передбачення відсутності миттєвої еластичної реакції, а стандартна лінійна тверда модель (модель Ценера) поєднує елементи обох для опису матеріалів, які мають як кінцеву рівноважну жорсткість, так і розслаблення з часом - більш реалістичне представлення більшості м'яких біологічних тканин та полімерів, за рахунок другого часу релаксації для відповідності.

Реальні дисперсії та затухання

Моделі вібрацій з віск-еластичними властивостями та незворотним розслабленням обов’язково передбачають дисперсію – різні частотні компоненти хвилі рухаються з різною швидкістю – і залежне від частоти затухання, оскільки втрата енергії через демпфер залежить від того, наскільки швидко деформується матеріал. Це вимірюється безпосередньо та є корисним: еластографія, медична техніка візуалізації, надсилає хвилі низької частоти через тканини та вимірює їх швидкість і затухання для визначення різниць у твердості, які можуть виявити пухлини (які зазвичай твердіші за навколишні здорові тканини) неінвазивно. Сеismологи використовують цю фізику в оберненому вигляді, але на значно більшому масштабі: земна кора еластична для швидких сейсмічних хвиль, але віскозно тече протягом тисячоліть після льодовикового періоду, і узгодження обох режимів з однією віск-еластичною реологією є центральним у сучасних моделях конвекції мантії та плиточкової тектоніки.

Чому перехід має значення для симуляцій хвиль

Чисельне моделювання поширення вібрації у віскоеластичних матеріалах передбачає вибір кроку часу та просторового розділення, достатньо малих, щоб розв’язати найшвидші частотні компоненти, які вас цікавлять, відносно ωc, а також правильне введення фізики релаксаційного часу в дисконізовані рівняння - наївний еластичний розчинник з доданою демпфуванням отримає неправильну величину затухання, якщо він не реалізує залежність частоти складної модуля замість єдивого фіксованого коефіцієнта демпфування.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Viscoelastic Waves і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.