Часова вартість грошей

💡 Основні концепції

Чому гроші мають часову вартість?

Кілька причин, чому гроші сьогодні коштують більше:

Інфляція: З часом купівельна спроможність грошей зменшується. 1000 грн сьогодні купить більше, ніж 1000 грн через рік при наявності інфляції.

Альтернативна вартість: Гроші сьогодні можна інвестувати та заробляти відсотки. Втрачається можливість отримати дохід, якщо гроші отримані пізніше.

Ризик: Майбутнє невизначене. Можливість не отримати гроші взагалі робить їх менш цінними в майбутньому.

Споживання: Люди переважно цінують споживання сьогодні більше, ніж у майбутньому (тимчасові переваги).

Процентні ставки та складні відсотки

Проста ставка: Відсотки нараховуються тільки на початкову суму (основну). FV = PV × (1 + r × n).

Складні відсотки: Відсотки нараховуються на суму, що включає попередні нараховані відсотки. "Відсотки на відсотки". Більш поширені у фінансах.

Частота нарахування: Щорічно, піврічно, квартально, щомісячно, щодня, безперервно. Чим частіше нарахування, тим більше майбутня вартість.

Ефективна річна ставка (EAR): Фактична ставка з урахуванням частоти нарахування. EAR = (1 + r/m)^m - 1, де m — частота.

📈 Майбутня вартість (Future Value, FV)

Формула майбутньої вартості

Де:

FV — майбутня вартість

PV — теперішня вартість (початкова сума)

r — процентна ставка за період (у десяткових частках, наприклад 0.05 для 5%)

n — кількість періодів

Приклад: Інвестували 10,000 грн під 8% річних на 5 років.

FV = 10,000 × (1 + 0.08)^5 = 10,000 × 1.4693 = 14,693 грн

Частота нарахування відсотків

Де m — кількість нарахувань на рік.

Приклад: 10,000 грн під 8% річних на 5 років:

Щорічно (m=1): FV = 10,000 × (1.08)^5 = 14,693 грн

Піврічно (m=2): FV = 10,000 × (1.04)^10 = 14,802 грн

Щомісячно (m=12): FV = 10,000 × (1.00667)^60 = 14,898 грн

Щодня (m=365): FV = 10,000 × (1.000219)^1825 = 14,917 грн

Чим частіше нарахування, тим більше майбутня вартість.

Майбутня вартість ануїтетів

Для серії рівних платежів:

Де PMT — періодичний платіж.

Приклад: Вкладаєте 1000 грн на кінець кожного року під 6% на 10 років.

FV = 1000 × [((1.06)^10 - 1) / 0.06] = 1000 × 13.181 = 13,181 грн

FV = PV × (1 + r)^n

📉 Теперішня вартість (Present Value, PV)

Формула теперішньої вартості

Або

Приклад: Отримаєте 15,000 грн через 5 років. Ставка дисконтування 8%.

PV = 15,000 / (1.08)^5 = 15,000 / 1.4693 = 10,208 грн

Це означає, що 15,000 грн через 5 років еквівалентні 10,208 грн сьогодні.

Дисконтування та ставка дисконтування

Дисконтування: Процес визначення теперішньої вартості майбутніх грошових потоків.

Ставка дисконтування: Відображає альтернативну вартість капіталу, ризик, інфляцію. Вища ставка = нижча теперішня вартість.

Вибір ставки: Безризикова ставка + премія за ризик. Може бути WACC, ставка дохідності активів, або суб'єктивна оцінка.

Теперішня вартість ануїтетів

Приклад: Отримуєте 1000 грн на кінець кожного року протягом 10 років. Ставка 6%.

PV = 1000 × [(1 - (1.06)^(-10)) / 0.06] = 1000 × 7.360 = 7,360 грн

Для авансового ануїтету (платежі на початку періоду):

PV = FV / (1 + r)^n

📊 NPV та IRR

Чиста теперішня вартість (NPV)

NPV — сума теперішніх вартостей всіх грошових потоків (вхідних та вихідних):

Де:

CFₜ — грошовий потік у період t

r — ставка дисконтування

I₀ — початкові інвестиції

Правило прийняття рішень: Якщо NPV > 0 — інвестиція прибуткова; NPV < 0 — збиткова; NPV = 0 — беззбиткова.

Приклад NPV

Інвестиція: -10,000 грн (сьогодні)

Грошові потоки: +3,000 грн (рік 1), +4,000 грн (рік 2), +5,000 грн (рік 3), +2,000 грн (рік 4)

Ставка: 8%

NPV = -10,000 + 3,000/(1.08) + 4,000/(1.08)² + 5,000/(1.08)³ + 2,000/(1.08)⁴

NPV = -10,000 + 2,778 + 3,429 + 3,969 + 1,470 = 1,646 грн

NPV > 0 → інвестиція приймається

Внутрішня норма прибутковості (IRR)

IRR — це ставка дисконтування, при якій NPV = 0:

Визначення: Ставка, яку заробляє інвестиція. Фактична дохідність проєкту.

Правило: Якщо IRR > потрібна дохідність → прийняти; IRR < потрібна дохідність → відхилити.

Розрахунок: Зазвичай потребує ітераційного методу (Excel, фінансовий калькулятор) або методу проб та помилок.

Обмеження: Може бути кілька IRR для нестандартних грошових потоків. Може давати неправильні висновки для взаємовиключних проєктів.

NPV = Σ [CFₜ / (1 + r)^t] - I₀

💳 Ануїтети та перпетуїтети

Типи ануїтетів

Звичайний ануїтет: Платежі на кінець кожного періоду (оренда, кредити). Найпоширеніший.

Авансовий ануїтет: Платежі на початку кожного періоду (оренда з авансом, страхові внески).

Відкладений ануїтет: Платежі починаються через певний період (пенсійні внески, що починаються через 10 років).

Зростаючий ануїтет: Платежі зростають з кожним періодом (інфляція, зростання доходів).

Перпетуїтети (Вічні ануїтети)

Серія платежів, що тривають вічно:

Приклад: Отримуєте 1000 грн на рік вічно. Ставка 5%.

PV = 1000 / 0.05 = 20,000 грн

Зростаючий перпетуїтет:

Де g — темп зростання.

PV перпетуїтету = PMT / r

📚 Гайд з прикладів

Приклад 1: Вибір між одноразовою виплатою та ануїтетом

Сценарій: Виграли в лотерею: або 1 млн грн сьогодні, або 120,000 грн на рік протягом 10 років.

Ставка: 7% річних

Рішення:

PV ануїтету = 120,000 × [(1 - (1.07)^(-10)) / 0.07] = 120,000 × 7.024 = 842,880 грн

PV одноразової = 1,000,000 грн

Висновок: Одноразова виплата краща (1 млн > 842,880 грн)

Приклад 2: Розрахунок щомісячного платежу по іпотеці

Умови: Кредит 500,000 грн під 6% річних на 20 років

Розрахунок:

Місячна ставка: 6% / 12 = 0.5% = 0.005

Кількість платежів: 20 × 12 = 240

PV = 500,000, r = 0.005, n = 240

500,000 = PMT × [(1 - (1.005)^(-240)) / 0.005]

500,000 = PMT × 139.581

PMT = 3,582 грн/місяць

Приклад 3: Оцінка інвестиційного проєкту

Проєкт: Початкова інвестиція -50,000 грн

Грошові потоки: +15,000 (рік 1), +20,000 (рік 2), +25,000 (рік 3), +10,000 (рік 4)

Ставка: 10%

NPV:

PV₁ = 15,000 / 1.10 = 13,636 грн

PV₂ = 20,000 / 1.10² = 16,529 грн

PV₃ = 25,000 / 1.10³ = 18,783 грн

PV₄ = 10,000 / 1.10⁴ = 6,830 грн

NPV = -50,000 + 13,636 + 16,529 + 18,783 + 6,830 = 5,778 грн

Висновок: NPV > 0 → проєкт прибутковий, приймаємо

IRR: Приблизно 15.2% (розраховується ітераційно). IRR > 10% → також приймаємо.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Solow Growth Model і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.