Рівняння Рімана: Прямокутники стають площею

Область под кривой, приближенная прямоугольниками

Определённый интеграл ∫f(x)dx от a до b определяется как площадь между кривой и осью x. Подход Бернхарда Римана — тот, что преподается первым, потому что он наиболее прямой — заключается в том, чтобы разрезать интервал [a,b] на n полос шириной Δx = (b−a)/n, приблизить кривую над каждой полосой прямоугольником и суммировать площади прямоугольников:

Римский интеграл = Σ f(xᵢ*) · Δx, i = 1 до n Δx = (b - a) / n xᵢ* = точка отбора внутри i-ой подгруппы — какую вы выбираете, это определяет правило live demo · прямоугольники Римана сходятся с точным интегралом● LIVE Как n растет и Δx уменьшается до нуля, сумма сходится к точному интегралу для любой функции, которая непрерывна (или имеет только конечное число скачковых разрывов) на [a,b] — это схождение, сделанное строгим, что фактически определяет Риманова интеграл, прежде чем его связывают с антипроизводными через фундаментальное теорему о вычислении.

Riemann sum = Σ f(xᵢ*) · Δx,   i = 1 to n

Δx = (b - a) / n
xᵢ* = a sample point inside the i-th subinterval — which one you pick defines the rule

Зліва, справа, центр: де ви зраховуєте, має значення

Чотири поширені правила відрізняються лише у виборі xᵢ* та, для методу трапецій, у формі, яка замінює прямокутник. Ліве правило зразків лівий край кожного смужки, правий — правий; для монотонно зростаючої функції вони систематично недооцінюють і переоцінюють справжню площу відповідно (і навпаки для спадної функції), тому справжня інтеграл завжди ув’язнений між ними.

Метод трапецій не використовує жодного прямокутника — він з'єднує f(xᵢ) та f(xᵢ₊₁) прямою лінією і сумує площі трапецій замість цього:

trapezoid sum = Δx · [ f(x₀)/2 + f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ₋₁) + f(xₙ)/2 ]

Збіжність швидкостей: чому середнє значення та трапеційні правила перевершують лівосторонній/правосторонній підрахунок

Аналіз помилок за допомогою розширення Тейлора показує, що лівосторонні та правосторонні правила мають похибку, яка зменшується пропорційно O(1/n) — поділ смуги навпіл лише вдвічі зменшує похибку. Правила середнього значення та трапецій також мають похибку O(1/n²) — поділ смуги навпіл чвертає похибку — оскільки їх зращування скасовує домінуючий член кривизни у розширенні Тейлора, який не скасовується лівостороннім/правостороннім зразкуванням. Цікаво, що похибка правила середнього значення зазвичай становить приблизно половину похибки правила трапецій, і має протилежний знак, що саме тому правило Сімпсона (яке не охоплюється цими чотирма, але є природним наступним кроком) комбінує їх 2:1 для повного скасування O(1/n²) члена та досягнення O(1/n⁴).

The Taylor series is a tool for approximating functions. In this context, it represents the integrand in a numerical integration scheme. The error term associated with the Taylor expansion describes the difference between the true value of the integral and the approximation obtained using the method. The order of the Taylor polynomial (i.e., the number of terms used) determines the accuracy of the approximation.

Де кожна норма стискається

Кожна норма передбачає, що f є відносно гладкою на кожному смузі. Функції, такі як sqrt(x) поблизу x = 0, де похідна розривається, або |x| поблизу певної кривини, погіршують швидкість збіжності кожної норми — правила трапецій та середини втрачають свою перевагу O(1/n²) і повертаються до O(1/n) поблизу таких точок, оскільки розширення Теплона, яке гарантує швидшу швидкість, передбачає обмежені другі похідні. Осцилюючі функції, такі як sin(x) при високому числі смуг, збігаються як очікувало, коли кожна смуга вужча за власне збудження функції, але при низькому n прямокутник може перетнути пік і пазу, повністю скасувавши реальну площу.

Чому це має значення за межами обчислення

Більшість інтегралів, які зустрічаються в фізиці, інженерії та статистиці, не мають замкненого виразу антидеривативу — найвідомішим прикладом є Гауссове ∫e^(−x²)dx, тому чисельне квадратуру не є запасним варіантом, а є єдиною опцією. Та ж сім'я ліворуч/праворуч/посередині/трубочки, розширена до двох і трьох вимірів, лежить в основі аналізу кінцених елементів, і концепція наближення інтеграла зваженим сумою функціональних значень масштабується аж до Монте-Карло інтегрування для високовимірних інтегралів, які зустрічаються в обчислювальній фінансистці та рендерингу.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Riemann Integral і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.