4D Регулярні Політопи

Одне виміру далі за межі інтуїції

Регулярна політоп – це візерунок, який продовжується після багатогранника (2D) та полігідра (3D): 4-політоп обмежений 3D полігональними клітинами так само, як і полігідрат обмежений 2D гранями. Існує рівно шість випуклих регулярних 4-політопів — на одиницю більше, ніж у випадку з п’яти Платоновими тілами у тривимірному випадку — і ця симуляція показує три з них плюс найкрадено відомий нерегулярний відношення, тессеракт. Жодного з цього немає метафори чи наближення: це точно визначені математичні об’єкти з точними координатами, точними групами симетрії та точним підрахунком клітин, ретельно розроблені Лудольфом Шляфлі у 1850-х роках, за десятиліття до того, як хтось міг їх уявити.

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Найпростіший: 5-я клітина

5-я клітина (або пентахронон) є 4D аналогом тетраедра — найпростіша можлива регулярна політопа в будь-якій розмірності, побудована з мінімальної кількості вершин, необхідних для повної взаємозв’язності. Вона має 5 вершин, 10 ребер, 10 трикутних граней і 5 тетраедричних комірок, і як і тетраедр, є самодужною: обмінюйте її вершини та комірки, і ви отримаєте ту ж форму назад. Її вершини можна розмістити в 5 точках у 4D просторі, які всі на однаковій відстані один від одного, прямий наслідок рівностороннього трикутника з 3 точок або тетраедра з 4 точками.

Тесеракт і його дуаль – 16-клітинна ячейка

Тесеракт (8-клітинна, або гіперкуб) є 4D аналогом куба: 16 вершин, 32 ребра, 24 квадратних грань і 8 кубічних клітин, з координатами просто (±1, ±1, ±1, ±1) — кожна комбінація плюсів і мінусів один у чотирьох координатах. Його дуаль – 16-клітинна ячейка (гіпероктаедр) – це аналог октаедра: 8 вершин при (±1,0,0,0) і їх перестановок, 32 ребра, 32 трикутні грані та 16 тетраедричних клітин — точно перевернуті кількість вершин/клітин тесерактa, що є визначальною сигнатурою дуальної пари.

tesseract vertices:  all 16 combinations of (+-1, +-1, +-1, +-1)
16-cell vertices:    8 points at (+-1,0,0,0), (0,+-1,0,0), (0,0,+-1,0), (0,0,0,+-1)

5-cell    (5V, 10E, 10F, 5C)   self-dual        -- 4D analogue of the tetrahedron
tesseract (16V, 32E, 24F, 8C)  dual: 16-cell    -- 4D analogue of the cube
16-cell   (8V, 24E, 32F, 16C)  dual: tesseract  -- 4D analogue of the octahedron
24-cell   (24V, 96E, 96F, 24C) self-dual        -- has NO 3D analogue at all

24-cell: форма без 3D аналога

24-cell є найдивнішою з шести регулярних багатогранників чотиривимірного простору. Вона не має відповідного об’єкту в тривимірному просторі, оскільки використовує випадковість, яка існує лише у чотирьох вимірах. У 24-cell 24 вершини, 96 ребер, 96 трикутних граней та 24 октальні клітини. Вона самодуйна, як і 5-cell, і може бути побудована шляхом комбінування вершин тесерактa (16) з вершинами 16-cell (8), масштабованими відповідно, в єдиний набір вершин у 24 точки. Існування 24-cell, разом із двома іншими регулярними чотиригранниками, які не показані тут (120-cell та 600-cell, побудовані з додекаедричних і тетраедричних клітин відповідно), пояснює, чому чотири виміри єдиний, де існує більше регулярних багатогранників, ніж три — кожне вимірювання п’ять і більше має лише три загальні узагальнення: тетраедр, гіперкуб та ортоплекс, і нічого іншого.

Як насправді це бачити: подвійне обертання та проекція

4D об'єкти не проектуються на 2D екран одним кроком — цей симулятор 4D → 3D → 2D, спочатку застосовуючи справжню 4D перспективну проєкцію (ділення на 'w' координату точно так само, як звичайна перспектива ділиться на z), щоб стиснути до 3D, потім звичайне 3D-до-2D проектування з статті про проєкції перспективи. Обертання використовує функцію унікальну для чотирьох і вищих розмірностей: обертання в 4D відбувається в площині, а не навколо осі (немає однієї залишкової осі після того, як ви фіксуєте площину в 4D, на відміну від 3D, де вісь є природним залишковим), і дві незалежні, непересічні площини обертання — наприклад, xy-площина та незалежна zw-площина — можуть одночасно обертатися з різною швидкістю, справді 4-вимірний рух, який називається подвійним обертанням, і якого немає в 3D та має свій знаменитий, перекидається всередину вигляд коливання тессерактів.

Frequently asked questions

Чи дійсно у чотиривимірному просторі більше регулярних форм, ніж у тривимірному?

Так – існують рівно шість випуклих регулярних чотириполітонів, порівняно з п’ятьма платонічними тілами в 3D, що є справжнім виміровим аномалією. З будь-якого виміру від п'яти вгору повертається до точно трьох регулярних політопів (сімейства тетраедра, куба та ортополя), тому чотири розміри є унікально багатими.

Що робить 24-cell особливим?

У нього немає аналогів у 3D або будь-якому іншому вимірі – він використовує випадковість у вершинній геометрії, яка працює лише в точно чотирьох вимірах, об'єднуючи набір вершин тесера та 16-cell в одну однорідну форму. Усі інші регулярні політопи кожного виміру є частиною чіткої родини (тетраедр, куб, ортополя або один із спорадичних 3D/4D винятків), але 24-cell стоїть наодинці.

Як комп’ютер може показати щось, що існує у чотиривимірному просторі?

Проектуючи його вниз по одному виміру за раз: справжній розділ 4D перспективи спочатку стискає форму до 3D, а звичайне проектування 3D-об'єкта на 2D екран робить це точно так само, як і проекція звичайної 3D-форми на фотографію. Обертання в двох незалежних чотиривимірних площинах одночасно – ‘подвійне обертання’, яке неможливе у 3D – є тим, що створює його дезорієнтоване ковзання.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте 4D Regular Polytopes і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію 4D Regular Polytopes

4D Регулярні Політопи: Шість Форм За Платонівськими Твердями