Політони Рулоу: Форми настільки кругі, як коло, не будучи ним

Постійна ширина без кола

Форма має постійну ширину, якщо відстань між двома паралельними опорними лініями, що торкаються її, залишається точно однаковою незалежно від напрямку вимірювання — так само, як і діаметр кола однаковий у всіх напрямках. Здивування полягає в тому, що коло є далеко не єдиною такою формою. Релео-полігон будується з регулярного багатокутника з непарним числом сторін (3, 5, 7, 9, 11…): кожний бік замінюється кривою дуги, центрована на протилежному вершині, з радіусом, рівним ширині багатокутника. Найпростіший і найвідоміший випадок, побудований на трикутнику, є Релео-трикутник, але такий самий конструкція працює для будь-якого непарностороннього регулярного багатокутника — вона зазнає невдачі для парносторонніх, оскільки вони не мають єдиної вершини безпосередньо протилежної кожній стороні.

Чому непарна кількість сторін є непереможною

Конструкція залежить від того, що кожна сторона має рівно один вершину, діаметрально протилежну їй, щоб можна було використовувати одну дугу, центрована там, щоб виступати назоврі та підтримувати постійну ширину вздовж цієї сторони. Регулярний багатогранник з парною кількістю сторін має кожну вершину протилежною іншій вершині, а не середині сторони, тому хитр із кутом протилежної вершини просто не має валідного центру для використання — що і є причиною того, що будь-яка контур постійної ширини, побудована таким чином, походить від бази з непарною кількістю сторін, і чому існує 'Реулеaux квадрат' або 'Реулеакс гексагон' у цьому конкретному сенсі (хоча інші форми постійної ширини, побудовані на основі парних сторін, також існують, використовуючи більш загальне розташування дуг).

Теорема Барбієра: периметр не звертає уваги на форму

Кожна крива постійної ширини w — коло, трикутник Рюля, пентагон Рюля та безліч інших, менш симетричних кривих з постійною шириною — має точно однакову периметр, πw, незалежно від її конкретної форми. Це теорема Барбієра (1860), і це справді дивно: трикутник Рюля з шириною w ніяк не схожий на коло діаметром w, але шматочок нитки точною довжиною, достатньою для обходу навколо будь-якої з цих форм, завжди має однакову довжину, πw.

perimeter of ANY curve of constant width w  =  pi * w   (Barbier's theorem)

circle, diameter w:            perimeter = pi*w         (obviously)
Reuleaux triangle, width w:    perimeter = 3 * (w * pi/3) = pi*w   (three arcs, each 1/6 of a full circle,
                                each arc spans 60 deg = pi/3 rad of a circle radius w, arc length = w*pi/3)

Постійна ширина не означає постійний радіус: форма, а не колесо

Постійна ширина не означає постійну середину — кути трикутника Реуле викликають помітне віддалення від своєї середини до центру дуги, на відміну від кола, вони коливаються під час обертання, а їх центр прокладає невеликий закритий контур замість прямої лінії. Те, що гарантує постійна ширина, полягає в тому, що плоский диск, що лежить над обертовою формою, залишається на фіксованій висоті протягом обертання, завжди торкаючись у одному місці з однаковим зазором. Це механічна властивість, яка використовується в свердлі Harry Watts 1914 року з квадратним отвором — трикутник Реуле, що обертається всередині квадратної направляючої, прокладає форму, майже ідеально-квадратну, але з округленими кутами, оскільки центр трикутника повинен блукати під час обертання, щоб одночасно забезпечити контакт усіх чотирьох сторін направляючої.

Де застосовують форми Реле цього, насправді

Крім квадратного свердла, постійно ширині криві вирішують конкретну проблему виробництва та дизайну: механізм повинен вільно обертатися всередині щільно прилягаючої направляючої без жодного заклинювання або проміжку. Британські монети в розмірах 20 пенсів, 50 пенсів і канадського долара використовують криві постійної ширини (технічно форми Релео-гептагона) замість кіл, щоб автоматичні розмінники могли перевіряти їх діаметр з будь-якої орієнтації, одночасно дозволяючи монеті візуально не бути круглою для ока – механізм розмінника, що працює лише з цирками, не може надійно відрізнити справжню монету від диска трохи неправильного розміру, оскільки діаметр сам по собі неоднозначний, але багатогранні криві постійної ширини підтримують постійну вимірювану ширину, залишаючись візуально та тактильно відмінними одна від одної.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Reuleaux Polygons і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.