4D Regular Polytopes: Sześć Kształtów Poza Bryłami Platońskich

O jeden wymiar dalej niż intuicja idzie

Regularny wielopowłokowy jest wzorem, który się rozciąga poza trójkąt (2D) i wielościan (3D): 4-wielopowłokowy jest ograniczony przez trójwymiarowe komórki wielościenne w taki sam sposób, w jaki wielościan jest ograniczony przez powierzchnie dwuwymiarowe. Istnieje dokładnie sześć wypukłych wielopowłokowych regularnych – jeden więcej niż pięć ciał stożkowych Platona w przypadku trójwymiarowego przypadku – a ta symulacja przedstawia trzy z nich oraz najlepszą znaną, nieformalną relatywkę, tetrasedra. Nic z tego nie jest metaforą ani przybliżeniem: są to precyzyjnie zdefiniowane obiekty matematyczne z dokładnymi współrzędnymi, dokładnymi grupami symetrii i dokładną liczbą komórek, które zostały wyliczone przez Ludwiga Schläfli w latach 50. XIX wieku, jeszcze przed tym, jak ktokolwiek miał sposób na ich zobrazowanie.

Najprostszy: 5-cell

5-cell (lub pentachoron) jest czworo wymiarową analogią trójkąta foremnego – najprostszą możliwą wielościan regularną w dowolnym wymiarze, zbudowaną z minimalnej liczby wierzchołków potrzebnych do pełnego połączenia. Posiada 5 wierzchołków, 10 krawędzi, 10 trójkątowych ścian i 5 tetraedrów, podobnie jak trójkąt foremny jest samowzajemnie samoistny: zamień jego wierzchołki i komórki, a otrzymasz ten sam kształt z powrotem. Jego wierzchołki można umieścić w 5 punktach przestrzeni 4D, które wszystkie są ze sobą równoodległe, bezpośrednia uogólnienie 3 punktów trójkąta równobocznego lub 4 punktów tetraedru.

Tesseract i jego dual, 16-cell

Tesseract (8-cell, lub hiperkowadrat) jest 4D analogiem kostki: 16 wierzchołków, 32 krawędzie, 24 ściany kwadratowe i 8 komór sześciennych, z współrzędnymi prostymi (±1, ±1, ±1, ±1) — każda kombinacja plusa i minusa jednego w czterech wymiarach. Jego dual, 16-cell (hiperoktahedron), jest analogiem oktaedru: 8 wierzchołków w punktach (±1,0,0,0) i permutacji, 24 krawędzie, 32 trójkątowe ściany i 16 tetraedrów – dokładnie odwrócone liczby wierzchołków/komór tesseracta, co stanowi definiujący znak pary dualnej.

tesseract vertices:  all 16 combinations of (+-1, +-1, +-1, +-1)
16-cell vertices:    8 points at (+-1,0,0,0), (0,+-1,0,0), (0,0,+-1,0), (0,0,0,+-1)

5-cell    (5V, 10E, 10F, 5C)   self-dual        -- 4D analogue of the tetrahedron
tesseract (16V, 32E, 24F, 8C)  dual: 16-cell    -- 4D analogue of the cube
16-cell   (8V, 24E, 32F, 16C)  dual: tesseract  -- 4D analogue of the octahedron
24-cell   (24V, 96E, 96F, 24C) self-dual        -- has NO 3D analogue at all

24-cell: kształt bez odpowiednika w wymiarze 3D

24-cell jest najbardziej niezwykłym z sześciu – nie posiada żadnego odpowiednika w niższym wymiarze, ponieważ wykorzystuje przypadłość, która występuje wyłącznie w dokładnie czterech wymiarach. Posiada 24 wierzchołki, 96 krawędzi, 96 trójkątnych ścian i 24 komórek oktaedralnych, jest samowzajemny jak 5-cell i można go zbudować łącząc 16 wierzchołków tetrady z 8 wierzchołkami 16-cell, odpowiednio przeskalowanych, w jednym zjednoczonym zbiorze wierzchołków liczącym 24 punkty. Jego istnienie, wraz z dwiema dalszymi regularnymi wielopólami czwartego rzędu (120-cell i 600-cell, zbudowanymi z komórek dodekaedralnych i tetraedralnych odpowiednio), jest powodem, dla którego cztery są jedynym wymiarem z większą liczbą regularnych wielopól niż trzy – każdy wymiar pięć i więcej ma dokładnie trzy, bezpośrednie uogólnienia tetrady, hiperkwadratu i ortopleksy, i nic poza tym.

Jak to naprawdę zobaczyć: podwójne obroty i projekcja

Obiekty 4D nie projektują się w jednym kroku na ekran 2D – ten symulator działa w następujący sposób: 4D → 3D → 2D, najpierw stosując autentyczną projekcję perspektywiczną 4D (dzieląc przez współrzędną 'w' dokładnie tak, jak zwykła perspektywa dzieli się przez z), aby skurczyć do 3D, a następnie zwykłą projekcję 3D-do-2D z artykułu o projekcji perspektywicznej. Sam obrót wykorzystuje funkcję unikalną dla wymiarów czterech i wyższych: obrót w 4D zachodzi w płaszczyźnie, a nie wokół osi (nie istnieje pojedyncza oś pozostała po ustaleniu płaszczyzny w 4D, jak w 3D, gdzie oś jest naturalnym resztem), a dwie niezależne, nieprzecinające się płaszczyzny obrotu – na przykład płaszczyzna xy i niezależna płaszczyzna zw – mogą obracać się jednocześnie z różnymi prędkościami, prawdziwy ruch 4-wymiarowy o nazwie podwójny obrót, który nie ma odpowiednika w 3D i jest tym, co nadaje się znany ze swojej dezorientującej, odwracającej wnętrze wygląd kuli tarnopolskiej.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz 4D Regular Polytopes i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.