Rayleigh-Taylor та Кельвіна-Гельмгольца: чому рідини в інтерфейсах згортаються в спіралі

Дві рідини, одна нестабільна поверхня

Покладіть щільну рідину зверху на легку, і гравітація не чекатиме ввічливо — інтерфейс між ними звивається у вигляді грибчастих наростів майже відразу. Це стабільність Рейлі-Таурі: коли більш важка рідина прискорюється в менш важку (або, еквівалентно, знаходиться над нею під дією гравітації), будь-яка невелика хвиля на інтерфейсі росте експоненціально, а не згасає. Швидкість зростання для синусоїдального збурення з довжиною хвилі k дорівнює:

γ = √(A * g * k) А = ((ρ₁ * ε) - (ρ₂ * ε)) / ((ρ₁ * ε) + (ρ₂ * ε)) Число Атвуда відео-демонстрація · зсув та щільність-залежний набіг на інтерфейсі● ВІДЕО Число Атвуда A вимірює різницю в щільності: A = 0 означає ідентичні рідини та відсутність нестабільності, A → 1 означає, що одна рідина значно щільніша за іншу (як вода над повітрям) і зростання відбувається швидко. Коротші довжини хвиль (більше k) ростуть швидше в ідеалізованій невісній теорії, тому справжні рідини потребують в'язкості та поверхневого натягу для обрізання найменших масштабів — інакше швидкість зростання буде розбіжним і інтерфейс миттєво розпадеться на нескінченно дрібну структуру.

γ = √(A · g · k)
A = (ρ₂ - ρ₁) / (ρ₂ + ρ₁)     Atwood number

Kelvin-Helmholtz: нестабільність від тертя, а не гравітації

Потрібен ще один, пов’язаний механізм, який не потребує жодної різниці в щільності: виникає нестабільність Кельвіна-Helmholtz, коли дві шари рідин проходять одна через одну зі швидкісним відмінню ΔU на межі. Класичні «вовчи очі» вітру над водою або смуги хмар на газовому гигантові є Кельвін-Helmholtz роллерами. Додавши гравітацію та градієнт щільності, ці два ефекти конкурують: потік нестабільний тоді, коли

(ρ₁ρ₂)/(ρ₁+ρ₂)² · ΔU² k > A · g (тертя, дестабілізуючий) (гравітація + градієнт щільності, стабілізуючий, якщо важка рідина знаходиться внизу) Коли важка рідина знаходиться внизу, гравітація стабілізує інтерфейс і потрібний достатній тертя для подолання цього – поріг вище є стандартним критерієм двохшарової нестабільності Кельвіна-Helmholtz. Коли важка рідина знаходиться зверху, домінує зростання Рейлі-Тауерса незалежно від тертя, і інтерфейс не стабільний на будь-якій довжині хвилі в ідеальному (безмасштабному, нескінченному) випадку.

(ρ₁ρ₂)/(ρ₁+ρ₂)² · ΔU² k  >  A · g
        (shear, destabilising)      (gravity + density gradient, stabilising if heavy fluid is below)

Поверхневий натяг встановлює найменший масштаб

Поверхневий натяг σ (сигма) чинить опір викривленню і, таким чином, пригнічує зростання на коротких довжинах хвиль, даючи коефіцієнт хвилі Rayleigh-Taylor нижче, за якого збурення насправді розсіюються замість того, щоб рости:

k_c = √( (ρ_1^2 - ρ_2^2) g / σ ) найшвидший зростаючий режим ≈ √3 * k_c (вязкий обріз, Чандршанкар 1961) Це пояснює, чому шар щільшої рідини товщиною кілька міліметрів може стабільно лежати на менш щільній – поверхневий натяг фіксує інтерфейс плоским, поки шар не стане достатньо товстим, щоб гравітація перемогла. Нижче критичної довжини хвилі натяг завжди перемагає; вище – гравітація бере верх і швидкість зростання збільшується до результату без урахування вязкості √(Agk) перед тим, як в'язкість обріже найкоротші, найшвидше зростаючі режими.

k_c = √( (ρ₂-ρ₁) g / σ )
fastest-growing mode ≈ √3 · k_c  (viscous cutoff, Chandrasekhar 1961)

Від лінійної росту до турбулентного змішування

Вищенаведені формули описують лише лінійний режим — невеликі збурення, що експоненціально зростають, поки вони залишаються малими. Коли амплітуда стає порівнянною з довжиною хвилі, грибоподібні шапки скручуються, у їхніх стеблах утворюються другі Кельвінові-Helmholtzівські нестабільності, і потік переходить до повного турбулентного змішування. Це пізнє поведінка відома своєю важкістю в аналітичному прогнозуванні та тому ширину змішування Рейлі-Тауер зазвичай підбирають експериментально або чисельно, h(t) ≈ α·A·g·t², де коефіцієнт змішування α визначається експериментально або чисельно, а не виводиться з перших принципів.

Де са ці нестабільності насправді проявляються

Rayleigh-Taylor керує укладанням пальців супернових викидів під час їх сповільнення в повільніше оточуюче газ, колапс капсули ін’єрної зливної (де це єдиний найбільший перешкода для запалювання), та пламени, що піднімаються від лампи або холодного спуску грози.

Kelvin-Helmholtz формує в’язані хмари, які видно при сильному вітрі, коливання прапору та турбулентний змішувальний шар на краю вихлопних газів двигуна реактивної літака. Обидві нестабільності також є типовими випадками для тестування кодів обчислювальної гідродинаміки, оскільки їх лінійний темп зростання відомий точно і будь-яке моделювання може бути перевірене проти нього перед тим, як довіряти його турбулентній, нелінійній фазі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Fluid Instability і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.