Rayleigh-Taylor i Kelvin-Helmholtz: Dlaczego Interfejsy Płynne Zwijają Się w Spojrzenia

Dwa płyny, jedno niestabilne przejście

Umieść gęsty płyn na wierzchu lżejszego i siła grawitacji nie będzie uprzejma – interfejs między nimi niemal natychmiast wyginął w kształcie kapeluszy. Jest to niestabilność Rayleigha-Taylora: zawsze, gdy cięższy płyn jest przyspieszany do lżejszego (lub, co odpowiada, znajduje się nad nim w polu grawitacyjnym), nawet najmniejsza falowa pętla na interfejsie rośnie wykładniczo zamiast tłumić się. Wzrost dla sinusoidalnej perturbaacji o współrzędnych k wynosi:

γ = √(A * g * k) A = (ρ_gęstszy * η - ρ_lżejszy * η) / (ρ_gęstszy * η + ρ_lżejszy * η) Numer Atwooda ● LIVE demonstracja na żywo · roll-up napędzany przez siłę tarcia i gęstość na interfejsie Numer Atwooda A mierzy kontrast gęstości: A = 0 oznacza identyczne płyny i brak niestabilności, A → 1 oznacza, że jeden płyn jest znacznie gęstszy od drugiego (jak woda nad powietrzem) a wzrost jest szybki. Krótsze długości fali (większe k) rosną szybciej w idealizowanym teoretycznym modelu bez lepkości, dlatego rzeczywiste płyny potrzebują lepkości i napięcia powierzchniowego, aby odciąć najmniejsze skale – w przeciwnym razie wzrost byłby nieskończony a interfejs natychmiast rozpadł się na nieskończenie drobną strukturę.

γ = √(A · g · k)
A = (ρ₂ - ρ₁) / (ρ₂ + ρ₁)     Atwood number

Kelwin-Helmholtz: niestabilność wywołana tarciem, a nie grawitacją

Potrzebny jest drugi, powiązany mechanizm, który nie wymaga żadnej różnicy w gęstości – niestabilność Kelvina-Helmholta występuje wtedy, gdy dwie warstwy płynów ślizgają się względem siebie z różnicą prędkości ΔU na granicy. Klasyczne wiry o oczu kota, które można zobaczyć podczas wiatru nad wodą lub na pasmowanych chmurach Jowsera, są to rolki Kelvina-Helmholta. Wraz z dodaną grawitacją i kontrastem gęstości, oba efekty konkurują: przepływ jest niestabilny wtedy,

(ρ₁ρ₂)/(ρ₁+ρ₂)² · ΔU² k > A · g (tarcia, destabilizujące) (grawitacja + gradient gęstości, stabilizujące jeśli ciecz cięższa znajduje się poniżej) Gdy ciecz ciężka leży u dołu, grawitacja stabilizuje interfejs i wystarczająco silne tarcie jest potrzebne, aby to pokonać – próg powyżej jest standardowym kryterium dwuwarstwowego Kelvina-Helmholta. Gdy ciecz ciężka leży na górze, dominuje wzrost Rayleigha-Taylora niezależnie od tarcia i interfejs jest niestabilny we wszystkich długościach fali w idealnym (nierobocznym, nieskończonym) przypadku.

(ρ₁ρ₂)/(ρ₁+ρ₂)² · ΔU² k  >  A · g
        (shear, destabilising)      (gravity + density gradient, stabilising if heavy fluid is below)

Powierzchniowe napięcie ustala najkrótszą skalę

Powierzchniowe napięcie σ opiera się przeciw odkształceniu i tym samym tłumi wzrost na krótkich długościach fali, dając Rayleighowi-Taylorowi krytyczny współczynnik fal k_c, poniżej którego perturbacje rzeczywiście zanikają zamiast rosnąć:

k_c = √(((ρ₁ - ρ₂)g / σ)) Najszybciej rosnący tryb ≈ √3 * k_c (cięcia kinetyczne, Chandrasekhar 1961) Dlatego warstwa gęstego płynu o grubości kilku milimetrów może stabilnie leżeć na cieńszej warstwie – powierzchnie napięcie utrzymuje interfejs płaski, dopóki warstwa nie stanie się wystarczająco gruba, aby siła grawitacji zwyciężyła. Poniżej długości fali krytycznej napięcie zawsze wygrywa; powyżej grawitacja przejmuje kontrolę i współczynnik wzrostu zbliża się do wyniku bezwładnościowego √(Agk) przed tym, jak lepkość odcina najkrótsze, najszybciej rosnące tryby.

k_c = √( (ρ₂-ρ₁) g / σ )
fastest-growing mode ≈ √3 · k_c  (viscous cutoff, Chandrasekhar 1961)

Od liniowego wzrostu do chaotycznego mieszania się

Wysoko powyżej znajduje się opis tylko zakresu liniowego — małe zakłócenia rosnące wykładniczo, dopóki są jeszcze małe. Gdy amplituda staje się porównywalna z długością fali, kapelusze grzybkowe zwijają się, a wzdłuż ich osi tworzą się drugorzędne niestabilności Kelvin-Helmholtz i przepływ przechodzi do całkowitego mieszania się chaotycznego. To późne zachowanie jest słynnie trudne do przewidzenia analitycznie, dlatego szerokości mieszania Rayleigh-Taylor są zwykle dopasowywane do empirycznej prawy, h(t) ≈ α·A·g·t², gdzie stała mieszająca α jest określana eksperymentalnie lub numerycznie, a nie wyprowadzona z pierwszych zasad.

Gdzie faktycznie występują te niestabilności

Prawo Rayleigha-Taylor reguluje formowanie się odłogów supernowych, gdy one zwalniają w kontakcie z wolniejszym gazem otaczającym, a także kolaps kapsuły w fuzji anihilacyjnej (gdzie stanowi to największe przeszkody dla zapłonu) oraz języki unoszące się z lampy lawowej lub zimny obrót prądu burzowego. Prawo Helmholtza kształtuje splątane chmury widoczne w silnym podmuchu wiatru, drgający flagę i mieszanie turbulencje na brzegu wydechu silnika odrzutowego. Obie niestabilności stanowią również klasyczne przykłady do testowania kodów dynamiki płynów obliczeniowych, ponieważ ich liniowa szybkość wzrostu jest dokładnie znana i każda symulacja może być sprawdzona w stosunku do niej przed zaufatym poleceniem jej turbulencjej, nieliniowej fazy.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Fluid Instability i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.