Радіоактивний розпад: від окремого кидка монети до закону півчасу

Постійна ймовірність на ядро, миттю

Кожне нестабільне ядро в зразку має точно однакову ймовірність розпадатися в наступний невеликий проміжок часу, незалежно від того, як давно воно існує — радіоактивні ядра не мають пам'яті і не "старіють" до розпаду. Це одне припущення, сформульоване як постійна швидкість розпаду лямбда на ядро за одиницю часу, є всім фізичним змістом, що стоїть за моделлю на цій сторінці, яка починається з N ядер і дозволяє кожному з них розпадатися випадковим чином, точно так само, як якщо б кинули N незалежних, сильно ухилених монет коженtick.

З одного ядра до експоненціальної закони

При наявності N ядер, очікувана кількість розпадів за одиницю часу становить λN, що дає диференціальне рівняння dN/dt = -λN. Розв’язавши його, отримуємо звичну експоненційну форму закону розпаду:

N(t) = N₀ * e^(-λt) λ = ln(2) / T½ N₀ - початкова кількість ядер λ - постійна розпаду, ймовірність розпаду одного ядра за одиницю часу T½ - період напіврозпаду, час, протягом якого розпадається половина зразка Період напіврозпаду T½ є більш інтуїтивною величиною, яку більшість людей знає, і він безпосередньо пов’язаний із λ за допомогою ln(2) ≈ 0.693. Це властивість ізотопу самостійно, не залежить від температури, тиску чи хімічного зв’язку, що робить розпад таким надійним годинником — вуглецевий-14 датування, уран-лідний датування порід та дозування медичних ізотопів базуються на тому, що λ є справжньою фізичною сталою для заданого нукліду.

N(t) = N₀ · e^(−λt)

λ = ln(2) / T½

N₀    initial number of nuclei
λ    decay constant, probability per nucleus per unit time
T½    half-life, the time for half the sample to decay

Чому справжня крива коливається навколо плавної теорії лінії

N(t) = N₀e^(-λt) є очікуваним підрахунком, середнім значенням по нескінченній кількості повторених експериментів. Будь-який окремий реальний запуск, включаючи той, що анімується на цій сторінці, розпадається на кінцеву, цілу кількість дискретних ядер, і фактичний підрахунок у кожний момент часу слідує за біноміальним процесом (кожна вижила ядро незалежно має ймовірність e^(-λdt) вижити протягом наступного інтервалу dt), який коливається навколо плавної експоненціальної з відносною розбіжністю, що зменшується як 1/√N. З тисячами ядер коливання невеликі, і симульована крива тісно слідує теорії; із лише кількома ядрами, що залишаються в кінці запуску, дискретність стає очевидною візуально, точно такий ефект, який ви можете спостерігати у симуляції, коли підрахунок зменшується.

Чому підрахунок розпаду є розподілом Пуассона

Оскільки кожна з великої кількості ядер має невелику ймовірність розпаду за короткий проміжок часу, кількість фактичних розпадів, що спостерігаються в заданому короткому вікні, дотримується розподілу Пуассона зі середнім значенням λNΔt, де λ – коефіцієнт розпаду, N – кількість ядер, а Δt – проміжок часу. Це стандартна статистична модель, що використовується для визначення похибок на будь-якому реальному лічильнику Гейгера. Невизначеність у підрахунку n розпадів дорівнює √n, тому вимірювання радіації завжди покращуються шляхом збільшення часу вимірювання, обмінюючи час на статистичну точність.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Radioactive Decay Simulator і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.