Radioaktywny Rozpad: Od Pojedynczego Rzutu do Prawo Połowy-Życia

Stała prawdopodobieństwo rozpadu na pojedyncowym jądrze, w każdym momencie

Każde jądro niestabilne w próbce ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo rozpadu w następnym krótkim przedziale czasu, niezależnie od tego, jak długo już istnieje – jądra promieniotwórcze nie mają pamięci i nie "starzeją się" w kierunku rozpadu. To pojedyncze założenie, sformalizowane jako stała szybkość rozpadu λ na jądro na jednostkę czasu, stanowi całą treść fizyczną stojącą za symulacją na tej stronie, która zaczyna się od N jąder i pozwala każdemu z nich ulec rozpadowi losowo, dokładnie tak jak rzucenie N jąder niezależnych, mocno obciążonych monet w każdym kroku.

Od prawdopodobieństwa rzutu monetą z jednego jądra atomowego do prawa wykładniczego

Przy obecności N jąder, oczekiwana liczba rozpadających się na jednostkę czasu wynosi λN, co daje równanie różniczkowe dN/dt = -λN. Rozwiązując je otrzymujemy znajomy prawy wykładniczy:

N(t) = N₀ * e^(-λt) λ = ln(2) / T_1/2 N₀ początkowa liczba jąder λ stała rozpadu, prawdopodobieństwo na jądro w jednostce czasu T_1/2 półrozkład, czas potrzebny do rozpadu połowy próbki

Półrozkład T_1/2 jest bardziej intuicyjną ilością, którą większość ludzi zna i jest bezpośrednio związany z λ przez ln(2) ≈ 0.693. Jest to właściwość izotopu sam w sobie, niezależna od temperatury, ciśnienia ani wiązań chemicznych, co czyni rozpad tak niezawodnym zegarem – datowanie węglowe, datowanie skał na bazie uranu-przywody i dawkowanie izotopów medycznych opierają się na λ jako prawdziwej stałej fizycznej dla danego nuklidu.

N(t) = N₀ · e^(−λt)

λ = ln(2) / T½

N₀    initial number of nuclei
λ    decay constant, probability per nucleus per unit time
T½    half-life, the time for half the sample to decay

Dlaczego rzeczywista krzywa kołuje wokół linii teorii o gładkiej powierzchni

N(t) = N₀e^(-λt) jest średnią liczoną z nieskończenie wielu powtarzanych eksperymentów. Każda pojedyncza rzeczywista próba, w tym ta animowana na tej stronie, ulega upadkowi skończonej liczby dyskretnych jąder i faktyczna liczba w każdym momencie podąża za procesem dwuliniowym (każde przetrwałe jądro niezależnie ma prawdopodobieństwo e^(-λdt) przeżycia kolejnego przedziału czasu dt), co powoduje oscylacje wokół gładkiej wykładniczej z rozrzutem względnym, który maleje w miarę 1/√N. Przy tysiącach jąder kołowanie jest niewielkie i krzywa symulowana śledzi teorię; gdy pozostaje ich tylko garstka w końcowej fazie próby, dyskretność staje się widoczna gołym okiem, dokładnie taki efekt, jak obserwujesz w symulacji, gdy liczba maleje.

Dlaczego liczenie rozpadów jest procesem Poissona

Ponieważ każde z bardzo dużego liczby jąder ma niewielkie prawdopodobieństwo rozpadu w krótkim przedziale czasu, liczba rzeczywistych rozpadów obserwowanych w ustalonym, krótkim oknie, podąża za rozkładem Poissona o średniej wartości λNΔt, czyli standardowym modelem statystycznym używanym do określania błędów na oszacowaniach pomiarów z wykorzystaniem dowolnego licznika Geigera – niepewność dla n rozpadów wynosi √n, co wyjaśnia, dlaczego pomiary promieniowania zawsze się poprawiają, licząc dłużej, kosztem precyzji statystycznej.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Radioactive Decay Simulator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.