П’ять розподілів, які потрібні кожній симуляції: Нормальний, Біноміальний, Поассона, Експоненціальний, Рівномірний

PDF та CDF: дві точки зору однієї розподіленої функції

Кожна безперервна функція розподілу має функцію щільності ймовірностей (PDF), висота якої в точці не є ймовірністю, а лише щільністю — лише площа під кривою між двома точками дає вам ймовірність потрапляння в цей діапазон. Її накопичена функція розподілу (CDF) є інтегралом PDF до точки та безпосередньо відповідає на питання «яка ймовірність значення, що не перевищує x» — завжди починається з 0, завжди закінчується на 1, завжди зростає.

Дискретні розподіли замінюють PDF функцією маси ймовірностей, але той самий принцип CDF застосовується: це просто накопичена сума замість накопиченої інтегральної.

Нормальний та Рівномірний: два базових розподіли

Рівномірний розподіл є найпростішим випадком: кожне значення в межах має рівну ймовірність, що дає плоску функцію щільності (ПФ) та пряму криву накопичення (КН). Нормальний (Гаусовий) розподіл – це відома крива у формі дзвіночка, визначена повністю середнім значенням μ і стандартним відхиленням σ, і він з’являється постійно завдяки теоремі про центральне згортання: незалежних випадкових величин, сума або середнє значення яких достатньо великі, незважаючи на їх власні індивідуальні розподіли, сходяться до нормального розподілу. Саме тому вимірювальні похибки, людські зрости та оцінки екзаменів згруповані приблизно у вигляді кривих у формі дзвіночка – це результат агрегації багатьох невеликих, переважно незалежних факторів.

Normal PDF:   f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp( −(x−μ)² / (2σ²) )
Uniform PDF:  f(x) = 1/(b−a)     for a ≤ x ≤ b,  else 0

Біноміальний та Посільський: підрахунок успіхів і рідкісних подій

Розподіл Біноміального підраховує кількість успіхів у фіксованій кількості незалежних «так/ні» спроб, кожна з якою має однакову ймовірність успіху p — кидки монет, конверсії A/B-тестування, перевірки якості «прохід/не прохід». Розподіл Посільський замість цього підраховує скільки разів рідкісна незалежна подія відбувається протягом фіксованого періоду часу або простору, і математично виникає як межа розподілу Біноміального, коли ви розрізаєте цей інтервал на величезну кількість невеликих підінтервалів, кожна з яких має мізерний шанс на одну подію — що є структурою, яка лежить в основі радіоактивних розпадів, прибуття до кол-центрів та помилок на сторінці.

Binomial PMF: P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k)     k successes in n trials
Poisson PMF:  P(X=k) = (λ^k · e^(−λ)) / k!             λ = average rate

Експоненційний: розподіл часу очікування без пам’яті

Якщо події відбуваються з повною швидкістю у стаціонарному середньому темпі, то розподіл експоненційного описує час очікування між подіями — час до наступної радіоактивної дезактивації, наступного клієнта, наступної несправності сервера. У нього є незвичайну та дійсно корисну властивість – безпам’ятність: ймовірність того, що ще 5 хвилин потрібно буде чекати на наступу подію, точно однакова, незалежно від того, чи вже чекали 0 хвилин або 50 хвилин, оскільки справді випадковий, стаціонарний процес не має пам'яті про те, як довго він уже працює. Це пояснює, чому розподіл експоненційного є стандартним вибором для моделювання термінів служби компонентів за випадковим (не зношуванням) відмовою та часів прибуття в чергових моделях.

Переклад розділу про накладання двох розподілів

Накладаючи дві криві розподілу на одні й ті ж осі, можна найшвидше отримати інтуїцію щодо параметрів, які зазвичай бачать лише як символи. Дві нормальні криві з однаковим середнім значенням, але різними стандартними відхиленнями показують, як розповсюдженість – а не їхнє положення – контролює, наскільки щільно скупчені значення; розподіл Пуассона зі зростаючим λ візуально розтягується та починає набувати вигляду нормального, що є прямим відображенням теореми Центральної Абелі у випадку дискретного розподілу; а експоненціальна крива поряд із рівномірною показує різницю між «постійним ризиком, згасаючими ймовірностями великих значень» та «кожен знак рівно ймовірно» без додаткових роз’яснень.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Probability Distributions Explorer і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.