Pięć Rozkładów, Których Każda Symulacja Potrzebuje |… |…

PDF i CDF: dwie perspektywy tej samej rozkładu

Każdy ciągły rozkład ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa (PDF), wysokość której w danym punkcie nie jest samo sobie prawdopodobieństwem, lecz gęstością – tylko pole pod krzywą pomiędzy dwoma punktami daje ci prawdopodobieństwo padnięcia w tym zakresie. Jej wartość bieżąca, funkcja rozkładu kumulatywnego (CDF), to całka PDF do danego punktu i bezpośrednio odpowiada na pytanie "jakie jest prawdopodobieństwo wartości równej lub mniejszej niż x" – zawsze zaczynając od 0, zawsze kończąc na 1, zawsze rosnąca w sposób ciągły.

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Normalne, Jednolite: dwa, od których zaczynamy

Rozkład Jednorodny jest najprostszym możliwym przypadkiem: każda wartość w zakresie jest równie prawdopodobna, co daje płaski rozkład prawdopodobieństwa i idealną linię CDF. Rozkład Normalny (Gaussowski) to znana krzywa symetryczna, zdefiniowana całkowicie przez jej średnią μ i odchylenie standardowe σ, i pojawia się stale ze względu na twierdzenie o granicy centralnej: sumuj lub uśredniaj wystarczającą liczbę niezależnych zmiennych losowych, niezależnie od ich własnego rozkładu, a wynik zbiega się do rozkładu Normalnego. Dlatego też błędy pomiarowe, wzrosty ludzkie i wyniki egzaminów wszystkie skupiają się w przybliżeniu w kształcie krzywych symetrycznych — każda z nich jest sumą wielu małych, głównie niezależnych czynników przyczyniających się do niej.

Normal PDF:   f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp( −(x−μ)² / (2σ²) )
Uniform PDF:  f(x) = 1/(b−a)     for a ≤ x ≤ b,  else 0

Binomial i Poissonek: liczenie sukcesów i rzadkich zdarzeń

Rozkład Binominalny liczy liczbę sukcesów w ustalonym, niezależnym zbiorze prób yes/no, każda z tą samą prawdopodobieństwem sukcesu p — rzuty monetami, konwersje A/B testów, kontrole jakości pass/fail. Rozkład Poissonek natomiast liczy ile razy zdarza się rzadkie, niezależne zdarzenie w ustalonym przedziale czasu lub przestrzeni, a matematycznie wyłania się jako granica rozkładu Binominalnego, gdy ten przedział dzielimy na ogromną liczbę małych podprzerzów, z malejącą szansą wystąpienia jednego zdarzenia – co idealnie oddaje strukturę obserwacji rozpadu promieniotworu, przyjazdów do centrum obsługi klienta lub błędów na stronę.

Binomial PMF: P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k)     k successes in n trials
Poisson PMF:  P(X=k) = (λ^k · e^(−λ)) / k!             λ = average rate

Eksponencjalny: rozkład bez pamięci czasu oczekiwania

Jeśli zdarzenia zachodzą zgodnie z procesem Poissona przy stałym średnim tempie, to rozkład Eksponencjalny opisuje czas oczekiwania między jednym a drugim zdarzeniem – czas do następnego rozpadu promieniotworu, kolejki klienta, awarii serwera. Posiada on niezwykłą i naprawdę użyteczną właściwość: pamięciowątość. Prawdopodobieństwo oczekiwania kolejnych 5 minut na następne zdarzenie jest dokładnie takie samo, niezależnie od tego, czy już czekałeś 0 minut, czy 50 minut, ponieważ prawdziwie losowy, o stałym tempie proces nie posiada pamięci o tym, jak długo już działał. Dlatego rozkład Eksponencjalny jest domyślnym wyborem do modelowania trwałości komponentów pod wpływem losowych (nie związanych z zużyciem) awarii i czasów interwałów w modelach kolejek.

Obmowa dwóch rozkładów obok siebie

Nakładanie dwóch rozkładów na wspólne osie to najszybszy sposób na zbudowanie intuicji co do parametrów, które zazwyczaj postrzega się jedynie jako symbole. Dwa krzywe Normalne o tym samym średnim zakresie i różnych odchyleniach standardowych pokazują, jak rozrzut – a nie położenie – kontroluje, jak ściśle wartości są skupione; rozkład Poissona z rosnącą λ wizualnie się wydłuża i zaczyna przypominać krzywą Normalną, ilustrując bezpośrednio twierdzenie o granicy centralnej dla dyskretnego rozkładu; a krzywa wykładnicza obok krzywej równomiernej pozwala natychmiistrnie zobaczyć różnicę jakościową pomiędzy "stałym ryzykiem, malejącą prawdopodobienością dużych wartości" i "każda wartość równie prawdopodobna", zamiast tego jest to abstrakcyjne pojęcie.

Frequently asked questions

Jaki jest rzeczywista różnica między funkcją gęstości prawdopodobieństwa (PDF) a funkcją rozkładu kumulatywnego (CDF)?

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia wartości w stosunku do innych – jej wysokość w danym punkcie jest gęstością, a nie prawdopodobieństwem, a jedynie obszary pod nią odpowiadają rzeczywistym prawdopodobieństwom. Funkcja rozkładu kumulatywnego (CDF) to suma jawna tej gęstości do danej wartości, więc bezpośrednio odczytuje się z niej P(X ≤ x), zawsze rośnie od 0 do 1 i jest po prostu całką z PDF.

Dlaczego rozkład Poissona pojawia się tak często dla rzadkich, losowych zdarzeń?

Rozkład Poissona jest przypadkiem granicznym rozkładu Binominalnego, gdy dzielimy stały przedział czasowy lub przestrzenny na ogromną liczbę małych podprzerozdziałów, z małymi, niezależnymi prawdopodobieństwami wystąpienia jednego zdarzenia w każdym. To dokładnie struktura wielu rzeczywistych procesów – rozpad radioaktywny, przybycie klientów, błędy na stronie – dlatego rozkład Poissona pojawia się często dla liczenia rzadkich, niezależnych zdarzeń w stałym przedziale.

Jak rozkład wykładniczy jest powiązany z rozkładem Poissona?

Oba opisują ten sam podstawowy proces losowy z dwóch różnych perspektyw. Jeśli zdarzenia zachodzą w sposób Poissona przy stałej średniej szybkości, liczba zdarzeń w danym przedziale czasowym jest rozkładana zgodnie z rozkładem Poissona, a czas oczekiwania między kolejnymi zdarzeniami jest rozkładany zgodnie z rozkładem wykładniczym z parametrem szybkości odwrotnej – jeden liczy zdarzenia, a drugi czasy pomiędzy nimi.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Probability Distributions Explorer i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Probability Distributions Explorer

Pięć Rozkładów, Których Każda Symulacja Potrzebuje: Normalny, Binormalny, Poissonański, Eksponencjalny, Jednorodny